エヴァリスト・ガロア

15歳頃のガロアの肖像画

エヴァリスト・ガロア（Évariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日）は、フランスの数学者および革命家。よりフランス語の原音に忠実に「ガロワ」と表記されることもある。

数学的業績

オーギュスト・シュヴァリエ宛のガロアの書簡

数学者として10代のうちにガロア理論の構成要素である体論や群論の先見的な研究を行った。彼はガロア理論を用い、ニールス・アーベルによる「五次以上の方程式には一般的な代数的解の公式がない」という定理（アーベル-ルフィニの定理）の証明を大幅に簡略化し、また、より一般にどんな場合に与えられた方程式が代数的な解の表示を持つかについての特徴付けを与えた。

ガロア理論に端を発する考え方は抽象代数学、疑似乱数列（PN）、誤り訂正コーディングなど、数学、物理学、コンピュータなど、自然科学や応用科学の多くの分野に表れている。また、彼の創始した数学理論群論はアルベルト・アインシュタインの相対性理論やヴェルナー・ハイゼンベルクらの量子力学、ベルンハルト・リーマンのリーマン幾何学などの現代物理学の言葉として用いられる。

このように代数学で重要な役割を果たすガロア理論は、現代数学の扉を開くとともに、20世紀、21世紀科学のあらゆる分野に絶大な影響を与えている。 しかし、ガロアの業績の真実と重要性、先見性は当時世界最高の研究機関であったパリ科学アカデミーや数学王と呼ばれたカール・フリードリヒ・ガウスにさえ理解されず、生前に評価されることはなかった（ただしその原因は、後述の通りガロア自身によるところが大きい）。

ガロアの遺書には後の数学者達にとって永年の研究対象となる理論に対する着想が「僕にはもう時間が無い」という言葉と共に書き綴られている。例えば代数的には解けない五次以上の方程式の解を与える、楕円モジュラー関数による超越的解の公式の存在を予言し、そのアイデアを記している。なお、この手法は彼の死後50年の時を経てシャルル・エルミートによって確立される。

生涯

ポール・デュピュイ

ガロアについては、群論の内容が難解であるため、一般にはその激動の生涯の方がよく知られている。その数学的業績は死後14年経ってから注目を集めていたが、一方でガロアの生涯や人物像に関しては、長年にわたって資料が散逸した状態が続いていた。ガロアの生涯に関する最初の本格的な研究の成果は、1896年に発表された高等師範学校(École Normale Supérieure)の歴史学教授、ポール・デュピュイの約70ページの論文「エヴァリスト・ガロアの生涯」(La vie d'Evariste Galois)であった。デュピュイはガロアの母方の親戚、姉の遺族、および当時まだ存命だったガロアの学友の証言を得た上で、様々な資料をまとめ上げてこの論文を完成させた。また、有名なガロアの15歳頃の肖像画も姉の遺族が所有していたものをデュピュイによって同時に発表されている。この論文は、その後発表された全てのガロアの生涯研究における原典となり、今日まで影響を与えている。以下の記述も注記がない限りはデュピュイの論文に基づいている。

誕生

ガロアは1811年、パリ郊外の町ブール・ラ・レーヌ（「女王の町」の意）に生まれた。父ニコラ・ガブリエル・ガロアは当時公立学校の校長で、のちに町長に任命された。社交的な性格であり、即興で詩を作ることが得意だったという。母アデライド・マリ・ドマントは親族が法学と古典の教授が多かったこともあり、教養の深い人物であった。また、2歳上の姉ナタリー・テオドール（後のシャントロー夫人）、3歳年下の弟アルフレッドがいて、この5人家族は明るい家庭を築いていたようである。エヴァリストは12歳までは母親の元で教育を受けていたが、1823年からは寄宿制でパリの名門リセであるルイ・ル・グラン校に入学した。

ルイ・ル・グラン在籍時

ガロアが入学した当時、王政復古の影響もあって校長は保守的・宗教的であり、生徒達は校長にしばしば反抗した。このような校内の雰囲気が、ガロアの性格や思想に影響を与えたようである。一方、学業においては入学した翌年の第3学年にはラテン語の最優秀賞やギリシア語の優秀賞を得るなど良好であった。しかし翌年の第2学年（フランスの学制では始業は9月からで、進級する度に3年、2年、1年と年次が減っていく）になると学業をおろそかにするようになり、また、健康上も優れていなかったので、校長からは第2学級をもう一度やり直した方が良いという意見が出された。当初は予定通り修辞学級に進んだものの、やはり態度は改らず、結局2学期から留年することとなった。

そこで時間を持て余したガロアは、数学準備級の授業にも出席するようになった。当時のフランスでは数学教育は重視されておらず、数学は将来の進む方向によって補習科で教えられていたのみだった。当時の数学教師ヴェルニエは若く熱心であり、エウクレイデスからアドリアン＝マリー・ルジャンドルに至るまでの幾何学を教えていた。ガロアの学友によれば、ガロアはルジャンドルが著した初等幾何学の教科書を読み始めたところ、すっかり熱中してしまい、2年間の教材を2日間で読み解いてしまったという。また同時に、彼は五次方程式の解法を発見したと錯覚し、凡庸な数学的才能しか持たないヴェルニエは対応に苦慮したようである。記録によれば、ヴェルニエを初めとする教師のガロアへの評価は時間を経るごとに低下したようであり、また学校は「数学への熱狂に支配されている」と評価している。1897年に『ガロア全集』に序文を加えたエミール・ピカールは、ガロアが数学の才能を開花させたことで「過度の自尊心が芽生えてしまった」と評している。また1828年理工科学校(École Polytechnique)の試験に挑戦したが、失敗している。

同年にはガロアは飛び級で数学特別級に進級した。この時修めた物理と化学では「少しも勉強しない」と酷評されている。一方、数学ではルイ・ポール・エミール・リシャールという優れた教師に出会い、リシャールもガロアを高く評価した（リシャールは他にもユルバン・ルヴェリエ、シャルル・エルミート、ジョゼフ・セレーなどの才能も見出している）。またリシャールから代数方程式解法に関するジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの論文を薦められたようで、その影響で1829年4月1日に最初の論文「循環連分数に関する一定理の証明」(Démonstration d'un théorème sur les fractions continues périodique)を発表している。約1ヵ月後、ガロアは弱冠17歳にして素数次方程式を代数的に解く方法を発見し、その研究論文をオーギュスタン＝ルイ・コーシーに預けフランス学士院に提出するように頼んだが、コーシーはそれを紛失してしまう。1971年に数学史家ルネ・タトンが発見した書簡によれば、コーシーはガロアにその論文を学士院に発表すると約束しておきながら守らず、挙句に紛失してしまったので、1830年1月にガロアにもう一度論文を学士院に送るよう連絡した。

さらに1829年7月2日、ガロアの父ニコラがパリのアパルトマンで自殺した。ガロアの親族がデュピュイに語った内容によると、当時は王政復古の影響で教会は保守的な勢力で占められ、教会の司祭たちは、自由主義的な思想の町長である父ニコラに対して何かと反発していた。そこで彼らは、ニコラの詩の文体を真似て卑猥な詩を作り、それがニコラのものであると言いふらした。その中には家族を傷つけるものもあった。ニコラは精神を病むにいたり、その結果自殺したという。父を敬愛していたガロアにとっては当然この事件は深い傷となった。

さらにその同月または1ヵ月後には、彼は再び理工科学校への受験に挑戦したが失敗した。伝説によれば、この時の口述試験の担当者が対数に関する愚問をしつこく出し、ガロアの回答に満足しなかったために、頭に来たガロアがその試験官に向かって黒板消しを投げつけたという。理工科学校は最も高等な数学が教えられ、さらに自由主義的な雰囲気に見ていたためにガロアは入学を切望していたが、その入学試験は2回までと制限されていたため、ガロアの望みは絶たれてしまった。

10月25日、ガロアはもう1つの有名な大学・教師予備校（École Préparatoire、後の高等師範学校）に受験し、入学が認められた。さらに12月には文科及び理科のバカロレアにも合格した。なお、理科の試験において、数学では10点満点中8点を与えられ、「才能に恵まれており、非常に注目すべき研究精神を持っている」と賞賛されたが、物理では「彼は全く何も知らず、とてもよい教師になれそうもない」と酷評されている。1830年2月20日には学費支給を受ける代わりに、卒業後は10年間公教育のために働く旨の契約書を提出している。

ガロアの契約書

師範学校時代

宣誓書提出の少し前に、ガロアは以前コーシーが紛失した論文を書き直した上で、改めてフランス学士院に提出した。だが、その審査員で論文を預かっていたジョゼフ・フーリエが急死したため、またしても論文は紛失してしまった。こうして立て続けに起きた不運や挫折は、ガロアの政治活動をますます活発にさせた。

教師予備校において、ガロアはオーギュスト・シュヴァリエという共和主義者と出会っている。シュヴァリエの影響で共和主義に傾倒していったガロアは、フランス7月革命が起きた時に自分も参加しようと試みた。しかし、日和見的な校長のジョセフ・ダニエル・ギニョーはそれを許さず生徒を校舎に閉じ込め、革命収束後に発足した旧態依然の臨時政府に従う旨を決定した。武器を手にして革命に参加し、戦火に身を投じた理工科学校とのあまりの対応の違いに、ガロアは反発を強めていった。8月6日、教師予備校は「師範学校」(École Normale)と改められ、修業期間が2年から3年に延びたため、早い卒業を望んでいたガロアを一層苛立たせた。ガロアは急進共和派の秘密結社「民衆の友の会」(Amis du Peuple)に加わり、さらに度々校長の言動に反発したため、目を付けられるようになった。12月3日、一連のギニョーの対応を嘲笑するようなガロアの記事を学校新聞で発表したため、ギニョーは12月9日にガロアを追放し、1831年1月3日に正式な放校処分が決定した。

政治活動の激化

以前、ガロアが執筆した論文が不運によって2度も紛失したことに同情した学士院のシメオン・ドニ・ポアソンが、ガロアにもう一度学士院に論文を提出するよう呼びかけ、その誘いに応じて1831年1月17日に再度11ページの論文「方程式の冪根による可解条件について(Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux)を提出した（この論文が後に「ガロア理論」として名を残す）。また彼は1月13日より毎週木曜日、ソルボンヌ通りのカイヨー書店において、いくつかの新理論を含めた代数学の講義を行うなど、数学的活動を続けていた。一方で、その頃のガロアは相当荒んでいたようで、女性数学者ソフィ・ジェルマンはその様子を記した書簡を残している（この手紙が発見されたのは20世紀後半である）。それによると、ガロアは数学の会合で悪態をつき、さらに家庭でも生活態度を改めなかったために母は家を出ざるを得ない状況となり、まるで狂ってしまったようだったという。また、親族の言い伝えによれば、ガロアは家族の前で「もし民衆を蜂起させるために誰かの死体が必要なら、僕がなってもいい」と口にしていたという。

4月、解散を命じられた国民軍（フランス革命の際に自警団の役割を担って市民の間で結成された）19人が制服を着用してパリの街中を歩いたために逮捕された。この事件は5月2日に無罪判決が出たが、その日の夜にレストランで開催された祝宴会において、ガロアはナイフの切先をグラスに突き出す形で「ルイ・フィリップに乾杯」と叫んだ。これが王の命を脅かすものとして、翌日ガロアは逮捕された。6月15日に開かれた裁判では、ガロアは自分が不利になる供述も平然と行ったが、弁護士の努力により無罪となった。この裁判の模様は、アレクサンドル・デュマの回顧録にも詳細に記載されている。

7月14日、ガロアは法学の学生で同じ「民衆の友の会」のヴァンサン・デュシャートレと共に、国民軍の制服と以前王の命を脅かしたナイフを着用してパリ市内を行進し、ポン・ヌフ橋上で逮捕された（国民軍は再結成されていたものの2人は登録していなかった）。12月3日に有罪が確定し、デュシャートレは禁固3ヶ月、ガロアは禁固6ヶ月の刑を宣告された（ガロアの方が重いのは、問題のナイフを所持していたためである）。

投獄と死

サント・ペラジー刑務所において、かつてポアソンに送った論文が「説明不十分で理解できないから、もっとわかりやすく書き直して欲しい」というポアソンの返事と共にガロアに返却された。加えて、刑務所内でガロアは他の囚人からいじめられ、飲酒を強要されることもあったことが、同時期に獄中にいた薬学者のフランソア・ヴァンサン・ラスパイユの獄中記に記されている。また、姉ナタリーや弟アルフレッドは何度かガロアの元へ面会に訪れているが、12月付けのナタリーの日記にはガロアがひどく不健康で老け込んだ様子が記されている。また、同じ共和主義者のオーギュスト・シュヴァリエも何度も面会に訪れ、友情を深めていたようである。

この年の暮れよりパリ市内でコレラが流行し、ガロアは刑期を1ヶ月残して1832年3月16日、監獄から数百メートル離れたフォートリエ療養所へ仮出所した。その後、そこで失恋を経験したようで、5月25日には今後の予定を記しつつ、絶望に打ちひしがれた心境を綴った手紙をシュヴァリエに送っている。そして29日夜から30日未明にかけて、「つまらない色女」に引っかかって2人の愛国者に決闘を申し込まれたために、別れを告げる旨の共和主義者への2通の手紙、およびポアソンから返却された論文の添削やシュヴァリエへの数学的な発想（ガロア理論の「原始的方程式」への応用や楕円関数に関するモジュラー方程式の考察、リーマン面理論の超越関数理論への応用と推察されている）を断片的に書いた手紙を、「時間がない」と走り書きしつつ大急ぎでしたためている。そして30日早朝、パリ近郊ジャンティーユ地区グラシエールの沼の付近で決闘は行われた。その結果ガロアは負傷し、その場で放置され、午前9時になって近くの農夫によってコシャン病院に運ばれた。ガロアが牧師の立会いを拒否した後しばらくして弟アルフレッドが病院に駆けつけた。弟の涙ぐむ姿をみて、ガロアはこう言ったという。

Ne pleure pas, j'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans!

泣かないでくれ。二十歳で死ぬのには、相当の勇気が要るのだから。

それが最後の言葉となり、夕方には腹膜炎を起こし、31日午前10時に息を引き取った。彼の葬儀は6月2日にモンパルナスの共同墓地で行われ、2000～3000人の共和主義者が集まり、「民衆の友の会」の2人の会員が弔辞を読み上げた。現在その墓地は跡形も残っていない。1982年、没後150年を記念した墓碑がブール・ラ・レーヌに建てられている。

死後の動き

弟アルフレッドによるガロアの肖像画

ガロアの死後、シュヴァリエは遺書に従って1832年に『百科評論雑誌』(Revue encyclopédique)に「死者小伝」(Nécrologie)と題したガロアの論文等を掲載し、彼の弟アルフレッドと共にカール・フリードリヒ・ガウスやカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビなどへ論文の写しを送ったようだが、当初は誰も理解できるものはいなかったようである。しかし、何らかのきっかけでその写しがジョゼフ・リウヴィルの手元に渡った。リウヴィルはこの論文を理解しようと努め、ついに1846年に自身が編集する「純粋・応用数学雑誌」(Journal de mathématique pures et appliquées)に掲載された。その際、ガロアが生前認められなかった理由を、簡潔にまとめようという意識が過剰であり、明快さに欠けたためと分析している。そして1870年にカミーユ・ジョルダンが著した『置換論』(Traité des substitutions et des équations algébrique)によって、ガロアの理論は確立された。

1848年には『マガザン・ピトレスク』(Magasin Pittoresque、挿絵付雑誌の意)に、ガロアに関する匿名（デュピュイの調査では、ルイ・ル・グラン及び師範学校でのガロアの学友フロジェルグが記したとの証言がある）の短い伝記が、弟のアルフレッドが記憶をたどって描いた肖像画と共に掲載されている。1872年には、ガロアの母が84歳で亡くなっている（彼女が長寿であったため、デュピュイがガロアの親族を探し出すのは比較的容易であった）。1897年には、エミール・ピカールの序文付きでリウヴィルの編集した「ガロア全集」が刊行されている。

なお、シュヴァリエが1832年に『百科評論雑誌』に寄せた記述によれば、ガロアのノートには以下の詩が残されていたという。ただしレオポルト・インフェルトはこの詩が書かれたノートを探し出すことは出来ず、本当にこの詩がガロアの創作であるかは確実ではない。

L'éternel cyprès m'environne:

Plus pâle que le pâle automne,

Je m'incline vers le tombeau.

久遠の糸杉が私を囲む

色褪せた秋よりもなお色褪せて

私は自ら墓場へ赴く

決闘

陰謀説

ガロアが起こした決闘の原因はある女性の名誉を守るためといわれていたが、忠実な共和党員であった彼の死は、反動派か秘密警察によるものという説もあった。その中でも有名なのがレオポルト・インフェルトの1948年の著書『神々の愛でし人』(Whom the gods love)である。その根拠としてインフェルトは、以下の点を挙げている。

• ガロアの弟アルフレッドは、生涯にわたり兄エヴァリストは謀殺されたと主張していた
• 介添人がいたにも関わらず、決闘で負傷して倒れたガロアはそのまま放置されていた
• 当時の警視総監アンリ・ジョゼフ・ジスケが1840年に著した回顧録において、当時ガロアの葬儀の際に蜂起しようと共和主義者が計画していたところを事前に察知して検挙した事実を記録している

しかしながら、インフェルトは自説に都合の悪い箇所はわざと隠していた。デュピュイがガロアの親族から聞いた言い伝えによれば、ガロアは恋愛相手の女性の叔父と許婚を自称する2人の人物から決闘を申し込まれた。ガロアの遺書によれば、2人は愛国者であった。またアレクサンドル・デュマは回顧録において、ガロアは「民衆の友の会」の一員であるペシュー・デルバンヴィルという人物によって決闘で殺されたという一文を残している。これらの資料を基に、インフェルトはデルバンヴィルが決闘によってガロアを殺したスパイであったと記述している。だが、共和主義者の秘密結社に潜入していた警察側のスパイの正体は、1848年の2月革命の折に、そのスパイの1人であったルシアン・ド・ラ・オッドによって全て暴露された。その時、デルバンヴィルはフォンテーヌブロー城の管理という重要な役目を任されており、彼がスパイだったということはあり得ないとデュピュイは記している。

さらに、ガロアがサント・ペラジー刑務所において、「僕はつまらない色女のために、決闘で死ぬこととなるだろう」という自分の将来に対する予言がラスパイユの獄中記に書かれていた事実を、インフェルトは意図的に自身の作品に書かなかった。なお、この決闘にまつわるガロアの親族の言い伝えは、他の資料と矛盾する点が多いため、いずれもアルフレッドの創作ではないかとデュピュイは推理している。

インフェルトがこのような作品を記したのは、自身の祖国ポーランドがナチス・ドイツの侵攻を受け、ガロアに自身の姿を重ね合わせたためと思われる。なお、インフェルトは伝記の文頭と文末に、新しい証拠が発見されて真相がさらに明らかとなる可能性は極めて疑わしいと述べている。しかし、その予測は誤りであった。

新資料の発見

1962年、アメリカ合衆国ニューヨーク州のイサカという町で科学史の国際会議が行われた時、ウルグアイ出身の学者カルロス・アルベルト・インファントッツィによって、決闘の原因と言われていた女性の素性が明らかとなった。彼女の名はステファニー・フェリス・ポトラン・デュモテルといい、ガロアが最後に暮らしたフォートリエ療養所の医師で所長だったジャン・ルイ・ポトラン・デュモテルの娘であった。彼らは親子共に親切な人物で、ガロアは次第にステファニーに恋愛感情を抱くようになって求婚したらしく、それに対する5月14日付でのステファニーによる断りの手紙の文面が、ガロア自身の筆跡でシュヴァリエへの書簡の裏に転記されていた。その内容は文面を見る限り礼儀正しいものであり、少なくとも残された文章を見た印象では彼女が「つまらない色女」と表現されるような人物などではなく、そもそもガロアの遺書が真実を記したものとは言い切れないことが明らかになった。

現在のガロアの生涯に関する最新の研究成果は、イタリアの女性数学史研究家ラウラ・トッティ・リガテリの1993年の著書『バリケードの中の数学』(Matematica sulla barricate)である。彼女は新資料として、ガロアの死に関する記事が掲載された、1832年6月1日付のリヨンの新聞『先駆者』(Précurseur)を挙げている。記事にはガロアの年齢を22歳であったとか、ルイ・フィリップ乾杯事件で有罪になったなどの誤記が含まれるものの、文章自体は良くまとまったものであった。その記事によれば、ガロアはかつて同時に法廷に出たことのある友人「L.D.」によって殺され、その際は用意した拳銃の片方にだけ弾丸を込め、くじを引いてどの拳銃を使うかを決めたということである。なお前述の通り、ガロアと一緒に法廷に出た人物といえばデュシャートレしかいない（ただし彼のイニシャルは「V.D.」である）。その上でリガテリは、決闘であるならば勝つ可能性もあるのに、ガロアの死を確信した遺書に対する不自然さを指摘し、決闘の真相を次のように解釈している。

ステファニーに失恋したガロアは、｢民衆の友の会｣の会員と共に民衆を蜂起させる方法を考えていた時、ガロアが自分が犠牲となってその機会を作ることを提案した。（作中では「D」と名前を明確にしていないが）デュシャートレがその相手を務めることとなり、ガロアは共和主義者の感情を煽るためにわざと無念を強調した遺書をしたためた。そして、予定通り決闘を装った工作が行われてガロアは死亡し、あとは葬儀において蜂起するだけとなった。ところが葬儀の当日、フランスの英雄であるジャン・マクシミリアン・ラマルク将軍の訃報が伝わり、ならばそれを契機に蜂起した方が良いと急遽予定が変更された、ということである（その後の暴動の様子はヴィクトル・ユーゴーの『レ・ミゼラブル』に詳しい）。

著書

• アーベル、ガロア『群と代数方程式』守屋美賀雄訳・解説、共立出版〈現代数学の系譜 11〉、1975年。ISBN 4-320-01164-3。http://www.kyoritsu-pub.co.jp/series/keifu.html#11。 
• アーベル、ガロア『楕円関数論』高瀬正仁訳、朝倉書店〈数学史叢書〉、1998年4月。ISBN 4-254-11459-1。 

参考文献

• P・デュピュイ『ガロア　その真実の生涯』辻雄一訳、東京図書、1972年。 
• 彌永昌吉『ガロアの時代・ガロアの数学　第1部』（時代篇）シュプリンガー・フェアラーク東京〈シュプリンガー数学クラブ〉、1999年7月。ISBN 4-431-70688-7。 
• 木村俊一『天才数学者はこう解いた、こう生きた　方程式四千年の歴史』講談社〈講談社選書メチエ 225〉、2001年11月。ISBN 4-06-258225-2。 
• 彌永昌吉『ガロアの時代・ガロアの数学　第2部』（数学篇）シュプリンガー・フェアラーク東京〈シュプリンガー数学クラブ〉、2002年8月。ISBN 4-431-70802-2。 
• 藤原正彦『天才の栄光と挫折　数学者列伝』　新潮選書、2002年、文春文庫、2008年
• Ｅ．Ｔ．ベル『数学をつくった人びと 2』田中勇・銀林浩訳、早川書房〈ハヤカワ文庫 NF 284〉、2003年10月。ISBN 4-15-050284-6。 
• L・インフェルト『ガロアの生涯　神々の愛でし人』市井三郎訳（新装版）、日本評論社、2008年9月。ISBN 978-4-535-78620-2。 
• 日本数学会編 編『岩波数学辞典』（第4版）岩波書店、2007年12月。ISBN 978-4-00-080309-0。 
• F．クライン『クライン：19世紀の数学』石井省吾・渡辺弘訳、共立出版、1995年9月。ISBN 4-641-06794-5。 
• 高木貞治『近世数学史談』岩波書店〈岩波文庫 青939-1〉、1995年8月。ISBN 4-00-339391-0。 
• 高木貞治『近世数学史談・数学雑談』共立出版、1996年12月。ISBN 4-320-01551-7。 
• Toti Rigatelli, Laura (1996). Evariste Galois (1811-1832). Basel, Switzerland: Birkhäuser. ISBN 978-3764354107 

外部リンク

• Evariste Galois MacTutor History of Mathematics archive.（英語）
• Les archives de Evariste Galois - 独・英・仏・西・ルーマニア・中・露の各言語による紹介
• La vie d'Évariste Galois - ポール・デュピュイの論文「エヴァリスト・ガロアの生涯」の原文（証拠文書は除く）