アフィン空間

数学において、アフィン空間（あふぃんくうかん、affine space, アファイン空間とも）または擬似空間（ぎじくうかん）とは、幾何学的ベクトルの存在の場であり、ユークリッド空間から絶対的な原点・座標と標準的な長さや角度などといった計量 (metric) の概念を取り除いた空間のことである。

図形を扱う際には通常、実数の組からなる集合 Rⁿ に解析幾何学的なデカルト座標系（とそれに付随する計量）を固定したものをユークリッド空間と呼んでしまうことが多いが、本来ユークリッドの幾何学を論じる場としてのユークリッド空間は、図形の絶対的な位置には関わりがなく、したがってアフィン空間に長さや角度という計量を加えたものである。

日本の高校数学で取り扱う平面上あるいは空間内の幾何学的ベクトルは、すべて本項の範疇に収まるものである。

定義

集合 A と（体 K 上の n 次元）ベクトル空間 V の組 (A, V) が（K 上の n 次元）アフィン空間とは次の 3 条件が成り立つことである。

1. A の任意の二点 P, Q の組 (P, Q) に対し、a ∈ V がただ一つ定まる。これを$\mathbf {a} ={\overrightarrow {PQ}}$と表す。
2. 任意の P ∈ A, a ∈ V に対し、${\overrightarrow {PQ}}=\mathbf {a}$ を満たす Q ∈ A はただ一つ存在する。これを Q = f_a(P) あるいは Q = P + a と記す。
3. 任意の a, b ∈ V に対し、$f_{\mathbf {b} }\circ f_{\mathbf {a} }=f_{\mathbf {a} +\mathbf {b} }$ が成り立つ。すなわち、任意の点 P ∈ A に対し、(P + a)+ b = P +(a + b) が成り立つ。

このとき、A をアフィン空間 (A, V) の台集合とよび、V を付随するベクトル空間、随伴ベクトル空間、同伴なベクトル空間などとよび、V = V(A) あるいは V = Vect(A) などとも表す。

2. で a が定める写像 f_a を a の定める平行移動という。また、V の元を A の（幾何学的）ベクトルとも呼ぶ。

アフィン空間 (A, V) を単に台集合 A のみで表し、アフィン空間 A などと呼ぶことがある。

台集合 A を実数全体の集合 R の n 個の単なる直積集合としての Rⁿ とし、随伴ベクトル空間V を標準内積に関する計量ベクトル空間としての Rⁿ としたときの、アフィン空間 (Rⁿ, Rⁿ) が冒頭で述べた意味での（すなわち、ユークリッド幾何学の場としての）n 次元ユークリッド空間である。このように特別なアフィン空間としてユークリッド空間を定義したとき、上に掲げたアフィン空間の公理のことを、ユークリッド空間のワイルの公理と呼ぶ。

アフィン部分空間と平行条件

部分空間

アフィン空間 (A, V) に対し、A の部分集合 S, V の k 次元部分線型空間 W の組 (S, W) がまたアフィン空間となるならば、(S, W) をアフィン空間 (A, V) の r 次元部分アフィン空間という。または単に S は A の部分空間であるなどのようにもいう。

このとき、W = V(S) あるいは W = Vect(S) などとあらわし、W の元を S 上のベクトルとよぶ。

1 次元の部分アフィン空間を直線（アフィン直線）、2 次元の部分アフィン空間を平面（アフィン平面）などとよぶ。また、余次元 1 すなわち n-1 次元の部分空間を超平面とよぶ。

平行条件

二つの部分空間 S₁, S₂ が与えられて、V(S₁) ⊂ V(S₂) が成り立つならば、S₁ は S₂ に平行であるといい、S₁ || S₂ あるいは S₁ // S₂ のように表す。

定義から S₁ || S₂ ならば dim_K(V(S₁)) ≤ dim_K(V(S₂)) であって、部分空間が平行であるという関係は推移律 S₁ || S₂ かつ S₂ || S₃ ならば S₁ || S₃ を満たす。

一方で、対称律 S₁ || S₂ ならば S₂ || S₁ は一般には成立しない。たとえば空間内の点から、ある平面に対して平行になるように直線を引くことは出来るが、ある直線に対して平行になるように平面を描くことはできない（仮に、描いた平面に対して元の直線が平行であるような状況を想定しても、そのような平面は無数に存在し一つに定まることはない）。

生成する部分空間とねじれの位置

(スタブ)

座標系

体 K 上の n 次元アフィン空間 (A, V) に対し、A の一点 O と V の一つの（順序付けられた）基底 B = (a₁, a₂, ..., a_n) を固定して特別視するとき、組 (O; B) を O を原点とするアフィン空間 A の座標系あるいは斜交座標系 という。

このとき、任意の点 P ∈ A に対し、

$\mathbf {p} ={\overrightarrow {OP}}$

を満たすベクトル p ∈ V がただ一つ定まる。この p を P の位置ベクトルといい、p の基底 B に関する成分表示を P の座標系 (O; B) に関する座標という。すなわち、P の位置ベクトルが p = p₁a₁ + p₂a₂ + … p_na_n と表されるならば、P の座標は (p₁, p₂, ..., p_n) ∈ Kⁿ である。

座標系 (O; B) を固定したとき、A の点 P に対し、その位置ベクトル p（または座標 (p₁, p₂, ..., p_n)）を対応させることにより、A は V（または Kⁿ）と一対一に対応する。

座標変換とアフィン変換

(スタブ)

アフィン合同

アフィン空間内の二つの図形が、あるアフィン変換によって互いに移り合うとき、その二つの図形は互いにアフィン合同であるという。ユークリッド空間においてアフィン合同かつ角度を保つということと相似であるということとは同値であり、アフィン合同かつ角度も線分の長さも変えないということは合同であるということである。

関連項目

• アフィン幾何学
• アフィン変換
• ユークリッド空間
• ベクトル空間