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==一般ガウス・ボネの定理== |
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'''一般ガウス・ボネの定理'''(generalized Gauss–Bonnet theorem)（'''チャーン・ガウス・ボネの定理'''とも呼ばれる）は、偶数次元の閉[[リーマン多様体]] M の[[オイラー標数]] χ(M) を M の曲率 Ω から定まる微分形式 Pf(Ω) の積分として表す定理である。この定理は、[[ガウス・ボネの定理]]の一般次元への拡張である。 |
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===定理=== |
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M を境界のない[[コンパクト空間|コンパクト]]な向き付け可能な 2n-次元リーマン多様体とする。Ω を M の[[レヴィ・チヴィタ接続]]（これはリーマン計量と両立する唯一の接続であり、リーマン多様体に対して必ず定まる）の[[曲率形式]]とする。Ω は M 上の <math>\mathfrak s\mathfrak o(2n)</math> に値を持つ [[微分形式|2-形式]]であるので、Ω の[[パフィアン]] Pf(Ω) （これは2n-形式である）をとることができる。 |
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'''一般ガウス・ボネの定理'''は、 |
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:<math>\int_M \mbox{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)\ </math> |
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であるという定理である。ここに χ(M) は、M の[[オイラー標数]]、つまり M のコホモロジーの次元の交代和を表す。 |
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===次元 4での例=== |
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M が4 次元のコンパクトな向き付け可能な多様体のとき、上の定理を書き直すと |
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:<math>\chi(M)=\frac{1}{32\pi^2}\int_M\left(|Rm|^2-4|Rc|^2+R^2\right)d\mu </math> |
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を得る。ここに Rm は全[[リーマン曲率テンソル]]で、Rc は[[リッチ曲率|リッチ曲率テンソル]]、R は[[スカラー曲率]]である。 |
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===さらなる一般化=== |
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2次元でのガウス・ボネの定理と同様、一般次元においても[[多様体|境界を持つ多様体]]への一般化がある。 |
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ガウス・ボネの定理は[[特性類]]の理論の枠組みで解釈できる。ガウス・ボネの被積分函数である Pf(Ω) の定めるコホモロジー類は M のオイラー類である。オイラー類は最高次元の微分形式であり、したがって閉形式である。オイラー類は、コホモロジー類としてはリーマン計量によらない。また接続にもよらない。このことは、オイラー類の積分が計量を変化させても不変であることを意味し、したがってこの積分が M の可微分構造の不変量であることを意味する。 |
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ガウス・ボネの定理の広い一般化は、[[アティヤ＝シンガーの指数定理]]である。 |
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指数定理は多様体 M 上のベクトルバンドルの {{仮リンク|楕円型微分作用素|en|elliptic differential operator}}（これは[[微分作用素の表象|主表象]]が同型であることを意味する。） D の解析的指数と位相的指数が一致するという定理である。 |
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指数は |
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:<math>\text{dim}(ker(D))-\text{dim}(ker(D^*))</math> |
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と定義され、楕円性により常に有限となる。ガウス・ボネの定理は、ベクトル束 T*M におけるd+d*で定まる微分作用素に対して指数定理を用いたものとみなされ、位相的指数がオイラー数、解析的指数はオイラー類として表われる。 |
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===記事名=== |
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記事名がガウス・ボネの定理となっていますが、ガウス・ボンネの定理の方が一般的と思われます。 |
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例えばGoogleで「ガウスボネの定理」を検索すると、「ガウスボンネの定理」が検索されます。 |
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また「ガウス・ボネの定理」と「ガウス・ボンネの定理」だと後者の方が検索件数は多いです。（前者が850件、後者が2130件となっています） |
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以上の事情を考え、記事名の変更を提案します。--[[利用者:Unaoya|Unaoya]]（[[利用者‐会話:Unaoya|会話]]） 2015年1月12日 (月) 03:21 (UTC) |
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==チャーンヴェイユ準同型== |
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数学において、'''チャーン・ヴェイユ準同型'''({{lang-en-short|''Chern–Weil homomorphism''}})は'''チャーン・ヴェイユ理論'''における基本的な構成であり、[[多様体]] M の[[ベクトルバンドル]]や[[主バンドル]]の{{仮リンク|位相不変量|en|topological invariant}}を、''M'' の[[ド・ラームコホモロジー]]環の元である[[接続 (幾何学)|接続]]や[[曲率]]を用いて計算することである。つまり、（微分）幾何学とトポロジーの関連づけを意味する。1940年代以来の[[陳省身]](Shiing-Shen Chern)と[[アンドレ・ヴェイユ]](André Weil)の理論は、[[特性類]]の理論における重要なステップである。この理論は[[一般ガウス・ボネの定理|チャーン-ガウス-ボネの定理]]の一般化でもある。 |
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<!--It was developed in the late 1940s by [[Shiing-Shen Chern]] and [[André Weil]], in the wake of proofs of the [[generalized Gauss–Bonnet theorem]]. This theory was an important step in the theory of [[characteristic class]]es.--> |
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G を[[リー代数]] <math>\mathfrak g</math> を持つ実、あるいは、複素[[リー群]]とし、<math>\mathbb{C}[\mathfrak g]</math> で <math>\mathfrak g</math> 上の <math>\mathbb{C}</math> に値を持つ[[多項式]]のなす代数を表すとする（<math>\mathbb{C}</math> の代わりに <math>\mathbb{R}</math> を使うと、同じ議論ができる）。また、<math>\mathbb{C}[\mathfrak g]^G</math> を ''G'' の{{仮リンク|リー群の随伴作用|label=随伴作用|en|adjoint representation of a Lie group}}(adjoint action)で不変な元のなす <math> \mathbb C[\mathfrak g^*]</math> の部分代数とする。すなわち、この部分代数は、''G'' のすべての元 ''g'' と <math>\mathfrak{g}</math> のすべての元 ''x'' に対し、<math>f(\operatorname{Ad}_g x) = f(x)</math> となるものからなる。 |
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'''チャーン・ヴェイユ準同型''' は、<math>\mathbb C</math>-代数 |
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:<math>\mathbb C[\mathfrak g]^{G} \to H^*(M,\mathbb C)</math> |
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の準同型である。この右辺のコホモロジーは、[[ド・ラームコホモロジー]]である。''M'' 上のすべての[[主バンドル]]に対し、そのようなコホモロジーは一意に存在する。''G'' がコンパクトであれば、この準同型の下に ''G''-バンドルの[[分類空間]] ''BG'' のコホモロジー代数（環）は、次の不変多項式の代数（環）<math>\mathbb K[\mathfrak g^*]^{G}</math> に同型である。 |
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:<math>H^*(BG, \mathbb{C}) \cong \mathbb C[\mathfrak g]^{G}.</math> |
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（''BG'' のコホモロジー代数（環）は、ド・ラームの意味で与えられる。 |
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:<math>H^k(BG, \mathbb{C}) = \varinjlim \operatorname{ker} (d: \Omega^k(B_jG) \to \Omega^{k+1}(B_jG))/\operatorname{im} d.</math> |
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ここに <math>BG = \varinjlim B_jG</math> であり、<math>B_jG</math> は多様体とする。）SL(''n'','''R''') のような非コンパクト群に対しては、不変多項式によって表現できないようなコホモロジー類が存在する可能性がある。 |
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===準同型の定義=== |
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''P'' の[[接続形式]] ω を任意に選び、Ω を ω の[[曲率形式|曲率 2-形式]]とする。つまり、Ω = ''D''ω であり、これは ω の共変外微分である。<math>f\in\mathbb C[\mathfrak g]^G</math> は、次数 ''k'' の同次多項式函数、つまり、任意の複素数 ''a'' と <math>\mathfrak g</math> の元 ''x'' に対し、<math>f(a x) = a^k x</math> であれば、''f'' を <math>\prod_1^k \mathfrak{g}</math> 上の対称多重線型函数と見ることができるような函数の全体とする（[[多項式環]]を参照）。 |
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:<math>f(\Omega)</math> |
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を ''P'' 上の |
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:<math>f(\Omega)(v_1,\dots,v_{2k})=\frac{1}{(2k)!}\sum_{\sigma\in\mathfrak S_{2k}}\epsilon_\sigma f(\Omega(v_{\sigma(1)},v_{\sigma(2)}),\dots,\Omega(v_{\sigma(2k-1)}, v_{\sigma(2k)}))</math> |
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により与えられる（スカラーの値を持つ） 2k-形式とする。ここに、 ''v''<sub>''i''</sub> は ''P'' での接ベクトルで、<math>\epsilon_\sigma</math> は対称群 <math>\mathfrak S_{2k}</math> 上の 2k 個の置換の符号 <math>\sigma</math> である（[[パフィアン]]または{{仮リンク|リー代数に値を持つ微分形式|label=操作|en|Lie algebra-valued forms}}(Operations)を参照）。 |
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<!--==Definition of the homomorphism== |
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If <math>f\in\mathbb C[\mathfrak g]^G</math> is a homogeneous polynomial function of degree ''k''; i.e., <math>f(a x) = a^k x</math> for any complex number ''a'' and ''x'' in <math>\mathfrak g</math>, then, viewing ''f'' as a symmetric multilinear functional on <math>\prod_1^k \mathfrak{g}</math> (see the [[ring of polynomial functions]]), let |
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:<math>f(\Omega)</math> |
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be the (scalar-valued) 2''k''-form on ''P'' given by |
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:<math>f(\Omega)(v_1,\dots,v_{2k})=\frac{1}{(2k)!}\sum_{\sigma\in\mathfrak S_{2k}}\epsilon_\sigma f(\Omega(v_{\sigma(1)},v_{\sigma(2)}),\dots,\Omega(v_{\sigma(2k-1)}, v_{\sigma(2k)}))</math> |
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where ''v''<sub>''i''</sub> are tangent vectors to ''P'', <math>\epsilon_\sigma</math> is the sign of the permutation <math>\sigma</math> in the symmetric group on 2''k'' numbers <math>\mathfrak S_{2k}</math> (see [[Lie algebra-valued forms#Operations]] as well as [[Pfaffian]]).--> |
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さらに、''f'' が不変、つまり <math>f(\operatorname{Ad}_g x) = f(x)</math> であれば、f(Ω) が[[ポアンカレの補題|閉形式]]であり、一意的に定まる''M'' 上の形式の引き戻しとしてかくことができ、その[[ド・ラームコホモロジー|ド・ラームコホモロジー類]]は、''ω'' によらないことを示すことができる。まず、f(Ω) が閉形式であることは、次の 2つの補題から従う<ref>{{harvnb|Kobayashi-Nomizu|1969|loc=Ch. XII.}}</ref>。 |
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:補題 1: ''P'' 上の形式 f(Ω) は ''M'' 上の微分形式の引き戻しである。つまり、ある ''M'' 上の形式が存在して、その "P" への引き戻しが f(Ω) になる。 |
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:補題 2: ''P'' 上の形式 φ が ''M'' 上の形式の引き戻しであれば、dφ = Dφ である。 |
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実際、[[曲率形式#ビアンキ恒等式|ビアンキ恒等式]]から<math>D \Omega = 0</math> であり、''D'' は次数付き微分なので D f(Ω) = 0 である。 |
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補題 1 は f(Ω) が補題 2 の前提を満たすことを意味する。 |
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補題 2 を調べるために、<math>\pi: P \to M</math> を射影とし、''h'' を <math>T_u P</math> の水平な部分空間上への射影とすると、補題 2 は <math>d \pi(h v) = d \pi(v)</math> （<math>d \pi</math> の核はちょうど垂直な部分空間に一致する）という事実の結果である。補題 1 に対し、まず、 |
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:<math>f(\Omega)(d R_g(v_1), \dots, d R_g(v_{2k})) = f(\Omega)(v_1, \dots, v_{2k}), \, R_g(u) = ug;</math> |
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であることに注意する。これは <math>R_g^* \Omega = \operatorname{Ad}_{g^{-1}} \Omega</math> であり、''f'' が不変であるからである。このように、<math>\overline{f}(\Omega)</math> を公式 |
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:<math>\overline{f}(\Omega)(\overline{v_1}, \dots, \overline{v_{2k}}) = f(\Omega)(v_1, \dots, v_{2k})</math> |
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により定義することができる。ここに <math>v_i</math> は <math>\overline{v_i}</math>: <math>d \pi(v_i) = \overline{v}_i</math> の任意のリフトとする。 |
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<!--To see Lemma 2, let <math>\pi: P \to M</math> be the projection and ''h'' be the projection of <math>T_u P</math> onto the horizontal subspace. Then Lemma 2 is a consequence of the fact that <math>d \pi(h v) = d \pi(v)</math> (the kernel of <math>d \pi</math> is precisely the vertical subspace.) As for Lemma 1, first note |
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:<math>f(\Omega)(d R_g(v_1), \dots, d R_g(v_{2k})) = f(\Omega)(v_1, \dots, v_{2k}), \, R_g(u) = ug;</math> |
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which is because <math>R_g^* \Omega = \operatorname{Ad}_{g^{-1}} \Omega</math> and ''f'' is invariant. Thus, one can define <math>\overline{f}(\Omega)</math> by the formula: |
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:<math>\overline{f}(\Omega)(\overline{v_1}, \dots, \overline{v_{2k}}) = f(\Omega)(v_1, \dots, v_{2k})</math> |
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where <math>v_i</math> are any lifts of <math>\overline{v_i}</math>: <math>d \pi(v_i) = \overline{v}_i</math>.--> |
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次に、''M'' 上の <math>\overline{f}(\Omega)</math> のド・ラームコホモロジーが接続の選択に独立であることを示す<ref>The argument for the independent of a choice of connection here is taken from: Akhil Mathew, Notes on Kodaira vanishing [https://math.berkeley.edu/~amathew/kodaira.pdf]. Kobayashi-Nomizu, the main reference, gives a more concrete argument.</ref>。 <math>\omega_0, \omega_1</math> を ''P'' 上の任意の接続形式とし、<math>p: P \times \mathbb{R} \to P</math> を射影とする。 |
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:<math>\omega' = t \, p^* \omega_1 + (1 - t) \, p^* \omega_0</math> |
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とする。ここに、''t'' は <math>P \times \mathbb{R}</math> 上の <math>(x, s) \mapsto s</math> による滑らかな函数とする。<math>\Omega', \Omega_0, \Omega_1</math> を <math>\omega', \omega_0, \omega_1</math> の曲率形式とする。<math>i_s: M \to M \times \mathbb{R}, \, x \mapsto (x, s)</math> を包含写像とすると、<math>i_0</math> は <math>i_1</math> とホモトピックとなる。このように <math>i_0^* \overline{f}(\Omega')</math> と <math>i_1^* \overline{f}(\Omega')</math> は、{{仮リンク|ド・ラームコホモロジーのホモトピー同値|en|homotopy invariance of de Rham cohomology}}(homotopy invariance of de Rham cohomology)により、同じド・ラームコホモロジー類へ所属する。結局、自然性とデサントの一意性により、 |
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:<math>i_0^* \overline{f}(\Omega') = \overline{f}(\Omega_0)</math> |
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であり、<math>\Omega_1</math> に対しても同様となる。よって、<math>\overline{f}(\Omega_0), \overline{f}(\Omega_1)</math> は、同じコホモロジー類に属する。 |
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このようにして、構成は線形写像をもたらす（補題 1 を参照）。 |
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:<math>\mathbb C[\mathfrak g]^{G}_k \rightarrow H^{2k}(M,\mathbb C), \, f \mapsto \left[\overline{f}(\Omega)\right].</math> |
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実際、写像はこのように得られることが確認でき、 |
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:<math>\mathbb C[\mathfrak g]^{G} \rightarrow H^*(M,\mathbb C)</math> |
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が{{仮リンク|代数的準同型|en|algebra homomorphism}}(algebra homomorphism)となる。 |
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<!--Next, we show that the de Rham cohomology class of <math>\overline{f}(\Omega)</math> on ''M'' is independent of a choice of connection.<ref>The argument for the independent of a choice of connection here is taken from: Akhil Mathew, Notes on Kodaira vanishing [https://math.berkeley.edu/~amathew/kodaira.pdf]. Kobayashi-Nomizu, the main reference, gives a more concrete argument.</ref> Let <math>\omega_0, \omega_1</math> be arbitrary connection forms on ''P'' and let <math>p: P \times \mathbb{R} \to P</math> be the projection. Put |
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:<math>\omega' = t \, p^* \omega_1 + (1 - t) \, p^* \omega_0</math> |
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where ''t'' is a smooth function on <math>P \times \mathbb{R}</math> given by <math>(x, s) \mapsto s</math>. Let <math>\Omega', \Omega_0, \Omega_1</math> be the curvature forms of <math>\omega', \omega_0, \omega_1</math>. Let <math>i_s: M \to M \times \mathbb{R}, \, x \mapsto (x, s)</math> be the inclusions. Then <math>i_0</math> is homotopic to <math>i_1</math>. Thus, <math>i_0^* \overline{f}(\Omega')</math> and <math>i_1^* \overline{f}(\Omega')</math> belong to the same de Rham cohomology class by the [[homotopy invariance of de Rham cohomology]]. Finally, by naturality and by uniqueness of descending, |
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:<math>i_0^* \overline{f}(\Omega') = \overline{f}(\Omega_0)</math> |
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and the same for <math>\Omega_1</math>. Hence, <math>\overline{f}(\Omega_0), \overline{f}(\Omega_1)</math> belong to the same cohomology class. |
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The construction thus gives the linear map: (cf. Lemma 1) |
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:<math>\mathbb C[\mathfrak g]^{G}_k \rightarrow H^{2k}(M,\mathbb C), \, f \mapsto \left[\overline{f}(\Omega)\right].</math> |
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In fact, one can check that the map thus obtained: |
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:<math>\mathbb C[\mathfrak g]^{G} \rightarrow H^*(M,\mathbb C)</math> |
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is an [[algebra homomorphism]].--> |
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=== 例：チャーン類とチャーン指標 === |
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<math>G = GL_n(\mathbb{C})</math> とし、<math>\mathfrak{g} = \mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})</math> をそのリー代数とする。<math>\mathfrak{g}</math> の各々の ''x'' に対し、変数を ''t'' とする[[特性多項式]]を考えることができる。 |
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:<math>\det \left( I - t{x \over 2 \pi i} \right) = \sum_{k=0}^n f_k(x) t^k,</math><ref>編集者のノート：この定義は、文献では ''t'' <sup>-1</sup> となっているが、ここでは ''t'' としたことを除き、文献と整合している。この選択のほうが標準的におもえ、[[チャーン類]]の記事との整合性を持っている。</ref> ここで ''i'' は -1 の平方根である。すると <math>f_k</math> は、式の左辺であるので、<math>\mathfrak{g}</math> 上の不変多項式である。多様体 ''M'' の上のランク ''n'' の滑らかな複素ベクトルバンドルの ''k''-次[[チャーン類]] |
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:<math>c_k(E) \in H^{2k}(M, \mathbb{Z})</math> |
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が、''E'' （さらに詳しくは、''E'' の標構バンドル）により定義されるチャーン・ヴェイユ準同型の下の ''f''<sub>''k''</sub> の像として与えられる。''t'' = 1 であれば、<math>\det \left(I - {x \over 2 \pi i} \right) = 1 + f_1(x) + \cdots + f_n(x)</math> は不変多項式である。''E'' の[[チャーン類|全チャーン類]]は、この多項式の像である。すなわち、 |
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:<math>c(E) = 1 + c_1(E) + \cdots + c_n(E)</math> |
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である。 |
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この定義から直接、''c''<sub>''j''</sub> を示すことができ、この ''c'' はチャーン類の公理を満たす。たとえば、ホイットニーの和の公式により、 |
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:<math>c_t(E) = [\det \left( I - t {\Omega / 2 \pi i} \right)]</math> |
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を考える。ここにベクトルバンドル ''E'' の ''M'' 上の[[曲率形式|曲率 2-形式]]を Ω と記すこととする（従って、''E'' の標構バンドル上の曲率形式の派生物である）。この Ω を使うとチャーン・ヴェイユ準同型は同じになる。ここでは、''E'' がベクトルバンドル ''E''<sub>''i''</sub> と ''E''<sub>''i''</sub> の曲率形式 Ω<sub>''i''</sub> の直和で、行列の言葉で、Ω が対角上のブロック対角行列 Ω<sub>''I''</sub> であるとすると、<math>\det(I - t\Omega/2\pi i) = \det(I - t\Omega_1/2\pi i) \wedge \dots \wedge \det(I - t\Omega_m/2\pi i)</math> であるので、 |
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:<math>c_t(E) = c_t(E_1) \cdots c_t(E_m)</math> |
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を得る。右辺の積は、コホモロジー環の積、{{仮リンク|カップ積|en|cup product}}(cup product)である。正規化性により、{{仮リンク|複素射影直線|en|complex projective line}}(complex projective line)の第一チャーン類が計算できる。[[チャーン類#例：リーマン球の複素接バンドル]]を参照。 |
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<math>\Omega_{E \otimes E'} = \Omega_E \otimes I_{E'} + I_{E} \otimes \Omega_{E'}</math><ref>証明：定義より、<math>\nabla^{E \otimes E'}(s \otimes s') = \nabla^{E} s \otimes s' + s \otimes\nabla^{E'} s'</math> であるので、ライプニッツ則を使い <math>\nabla^{E \otimes E'}</math> の二乗を計算する。</ref> ので、 |
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:<math>c_1(E \otimes E') = c_1(E) \operatorname{rk}(E') + \operatorname{rk}(E) c_1(E')</math> |
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も得る。 |
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結局、''E'' の[[チャーン指標]]は、 |
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:<math>\operatorname{ch}(E) = [\operatorname{tr}(e^{-\Omega/2\pi i})] \in H^*(M, \mathbb{Q})</math> |
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により与えられる。ここに Ω は ''E'' 上の接続の曲率形式である（Ω はべき零であるので、曲率形式は Ω の中で多項式である。）。したがって、ch は[[環準同型]] |
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:<math>\operatorname{ch}(E \oplus F) = \operatorname{ch}(E) + \operatorname{ch}(F), \, \operatorname{ch}(E \otimes F) = \operatorname{ch}(E) \operatorname{ch}(F)</math> |
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である。コホモロジー環 ''H''(''M'', '''C''') を含むある環 ''R'' の中には、''t''の多項式の因数分解 |
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:<math>c_t(E) = \prod_{j=0}^n (1 + \lambda_j t)</math> |
|||
が存在する。ここに、λ<sub>''j''</sub> は ''R'' に含まれる（これらはチャーンルートと呼ばれることもある）。従って、<math>\operatorname{ch}(E) = e^{\lambda_j}</math> である。 |
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<!--== Example: Chern classes and Chern character == |
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Let <math>G = GL_n(\mathbb{C})</math> and <math>\mathfrak{g} = \mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})</math> its Lie algebra. For each ''x'' in <math>\mathfrak{g}</math>, we can consider its [[characteristic polynomial]] in ''t'': |
|||
:<math>\det \left( I - t{x \over 2 \pi i} \right) = \sum_{k=0}^n f_k(x) t^k,</math><ref>Editorial note: This definition is consistent with the reference except we have ''t'', which is ''t'' <sup>-1</sup> there. Our choice seems more standard and is consistent with our "[[Chern class]]" article.</ref> |
|||
where ''i'' is the square root of -1. Then <math>f_k</math> are invariant polynomials on <math>\mathfrak{g}</math>, since the left-hand side of the equation is. The ''k''-th [[Chern class]] of a smooth complex-vector bundle ''E'' of rank ''n'' on a manifold ''M'': |
|||
:<math>c_k(E) \in H^{2k}(M, \mathbb{Z})</math> |
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is given as the image of ''f''<sub>''k''</sub> under the Chern–Weil homomorphism defined by ''E'' (or more precisely the frame bundle of ''E''). If ''t'' = 1, then <math>\det \left(I - {x \over 2 \pi i} \right) = 1 + f_1(x) + \cdots + f_n(x)</math> is an invariant polynomial. The [[total Chern class]] of ''E'' is the image of this polynomial; that is, |
|||
:<math>c(E) = 1 + c_1(E) + \cdots + c_n(E).</math> |
|||
Directly from the definition, one can show ''c''<sub>''j''</sub>, ''c'' given above satisfy the axioms of Chern classes. For example, for the Whitney sum formula, we consider |
|||
:<math>c_t(E) = [\det \left( I - t {\Omega / 2 \pi i} \right)]</math> |
|||
where we wrote Ω for the [[curvature form|curvature 2-form]] on ''M'' of the vector bundle ''E'' (so it is the descendent of the curvature form on the frame bundle of ''E''). The Chern–Weil homomorphism is the same if one uses this Ω. Now, suppose ''E'' is a direct sum of vector bundles ''E''<sub>''i''</sub>'s and Ω<sub>''i''</sub> the curvature form of ''E''<sub>''i''</sub> so that, in the matrix term, Ω is the block diagonal matrix with Ω<sub>''I''</sub>'s on the diagonal. Then, since <math>\det(I - t\Omega/2\pi i) = \det(I - t\Omega_1/2\pi i) \wedge \dots \wedge \det(I - t\Omega_m/2\pi i)</math>, we have: |
|||
:<math>c_t(E) = c_t(E_1) \cdots c_t(E_m)</math> |
|||
where on the right the multiplication is that of a cohomology ring: [[cup product]]. For the normalization property, one computes the first Chern class of the [[complex projective line]]; see [[Chern class#Example: the complex tangent bundle of the Riemann sphere]]. |
|||
Since <math>\Omega_{E \otimes E'} = \Omega_E \otimes I_{E'} + I_{E} \otimes \Omega_{E'}</math>,<ref>Proof: By definition, <math>\nabla^{E \otimes E'}(s \otimes s') = \nabla^{E} s \otimes s' + s \otimes\nabla^{E'} s'</math>. Now compute the square of <math>\nabla^{E \otimes E'}</math> using Leibniz's rule.</ref> we also have: |
|||
:<math>c_1(E \otimes E') = c_1(E) \operatorname{rk}(E') + \operatorname{rk}(E) c_1(E').</math> |
|||
Finally, the [[Chern character]] of ''E'' is given by |
|||
:<math>\operatorname{ch}(E) = [\operatorname{tr}(e^{-\Omega/2\pi i})] \in H^*(M, \mathbb{Q})</math> |
|||
where Ω is the curvature form of some connection on ''E'' (since Ω is nilpotent, it is a polynomial in Ω.) Then ch is a [[ring homomorphism]]: |
|||
:<math>\operatorname{ch}(E \oplus F) = \operatorname{ch}(E) + \operatorname{ch}(F), \, \operatorname{ch}(E \otimes F) = \operatorname{ch}(E) \operatorname{ch}(F).</math> |
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Now suppose, in some ring ''R'' containing the cohomology ring ''H''(''M'', '''C'''), there is the factorization of the polynomial in ''t'': |
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:<math>c_t(E) = \prod_{j=0}^n (1 + \lambda_j t)</math> |
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where λ<sub>''j''</sub> are in ''R'' (they are sometimes called Chern roots.) Then <math>\operatorname{ch}(E) = e^{\lambda_j}</math>.--> |
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=== 例：ポントリャーギン類 === |
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''E'' が ''M'' 上の滑らかな実ベクトルバンドルであれば、''E'' の ''k''-次{{仮リンク|ポントリャーギン類|en|Pontrjagin class}}(Pontrjagin class)は、 |
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:<math>p_k(E) = (-1)^k c_{2k}(E \otimes \mathbb{C}) \in H^{4k}(M, \mathbb{Z})</math> |
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で与えられる。ここに ''E'' の複素化を <math>E \otimes \mathbb{C}</math> と書く。同じことであるが、ポントリャーギン類は、<math>\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})</math> の上の |
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:<math>\operatorname{det}\left(I - t {x \over 2 \pi}\right) = \sum_{k = 0}^n g_k(x) t^k</math> |
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で与えられる不変多項式 <math>g_{2k}</math> のチャーン・ヴェイユ準同型による像である。 |
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<!-- mention Euler class --> |
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<!--== Example: Pontrjagin classes == |
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If ''E'' is a smooth real vector bundle on a manifold ''M'', then the ''k''-th [[Pontrjagin class]] of ''E'' is given as: |
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:<math>p_k(E) = (-1)^k c_{2k}(E \otimes \mathbb{C}) \in H^{4k}(M, \mathbb{Z})</math> |
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where we wrote <math>E \otimes \mathbb{C}</math> for the complexification of ''E''. Equivalently, it is the image under the Chern–Weil homomorphism of the invariant polynomial <math>g_{2k}</math> on <math>\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})</math> given by: |
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:<math>\operatorname{det}\left(I - t {x \over 2 \pi}\right) = \sum_{k = 0}^n g_k(x) t^k.</math>--> |
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=== 正則ベクトルバンドルの準同型 === |
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''E'' を複素多様体 ''M'' 上の（複素数に値を持つ）[[正則ベクトルバンドル]]とすると、''E'' の曲率形式 Ω は、あるエルミート計量に関して、2-形式ではなく、(1, 1)-形式である（{{仮リンク|正則ベクトルバンドル|label=正則ベクトルバンドル上のエルミート計量|en|holomorphic vector bundle#Hermitian metrics on a holomorphic vector bundle}}(Hermitian metrics on a holomorphic vector bundle)を参照）。よって、チャーン・ヴェイユ準同型は、次のような形式を前提とする。<math>G = GL_n(\mathbb{C})</math> に対し、 |
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:<math>\mathbb{C}[\mathfrak{g}]_k \to H^{k, k}(M, \mathbb{C}), f \mapsto [f(\Omega)]</math> |
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である。 |
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<!--== The homomorphism for holomorphic vector bundles == |
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Let ''E'' be a [[holomorphic vector bundle|holomorphic (complex-)vector bundle]] on a complex manifold ''M''. The curvature form Ω of ''E'', with respect to some hermitian metric, is not just a 2-form, but is in fact a (1, 1)-form (see [[holomorphic vector bundle#Hermitian metrics on a holomorphic vector bundle]]). Hence, the Chern–Weil homomorphism assumes the form: with <math>G = GL_n(\mathbb{C})</math>, |
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:<math>\mathbb{C}[\mathfrak{g}]_k \to H^{k, k}(M, \mathbb{C}), f \mapsto [f(\Omega)].</math>--> |
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2016年4月24日 (日) 11:49時点における最新版
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