オイラーの公式

数学、殊に複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、Euler's formula）とは、指数関数と三角関数の間に成り立つ等式

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\,\sin \theta$

をいう。ここに、θ は幾何学的には弧度法に従う角と見なされる実変数である（等式自体は複素変数と見ても成立している）。レオンハルト・オイラーに帰せられるためこの名がある。

概要

この公式ははじめ、ロジャー・コーツ (Roger Cotes) によって1714年に証明されたが、それは曖昧なものだった。その後オイラーによって1748年に再発見され、有名になった。また、θ = π のとき、オイラーの等式と呼ばれる

$e^{i\pi }+1=0$

が導かれる。この式は、全く起源の異なる重要な定数、円周率 π とネイピア数 e が、極めて基本的な数、0（加法の単位元）, 1（乗法の単位元） および虚数単位 i によって結びついているという意味で特異なものである一方、複素解析において非常に重要な等式である。この予想外の調和・連関を明らかにすることから、オイラーの等式は、"人類の至宝" とも呼ばれる。

指数関数と三角関数

実関数として定義される指数関数 e^x および三角関数 cos x, sin x をそれぞれマクローリン展開すれば、

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n},$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n},$

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$

なる冪級数としての表示を得る。これらの式の右辺に現れる級数は x がガウス平面上を動く複素変数とみた場合にも任意の x の近傍で広義一様に絶対収束する。これら級数の収束性と正則関数に関する一致の定理により、正則関数としての拡張は全平面でこの収束冪級数によって確定されるため、複素関数としての指数関数・三角関数は通常、この級数展開式を以って定義される。ここで e^x に ix を代入すれば、絶対収束性によって和の順序交換が正当化され

$e^{ix}=\sum _{n=0}^{\infty }i^{n}{\frac {1}{n!}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}+i\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$

なる式が意味を持つ。右辺の初項は cos x のマクローリン展開に、次項は sin x のマクローリン展開に i を乗じたものに他ならず、したがって等式 e^ix = cos x + i sin x が得られるのである。この公式は、全く起源の異なる指数関数と三角関数が複素数の世界では密接に結びついていることを示していると見ることができる。たとえば三角関数の加法定理は、指数法則 e^ae^b = e^a+b に対応していることが分かる。さらに

$\cosh z={e^{iz}+e^{-iz} \over 2},$

構文解析に失敗 (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination"): {\displaystyle \sinh z={e^{iz}-e^{-iz} \over 2i}}

と置き換えることで、初等関数は全て指数関数の一部であるとみなすこともできる。 　また、sinhzをハイパボリックサイン、coshzをハイパボリックコサインという。