アレン＝カーン方程式

アレン＝カーン方程式（アレン＝カーンほうていしき、英: Allen–Cahn equation）とは、サム・アレンとジョン・ワーナー・カーンの名にちなむ反応拡散方程式で、秩序無秩序転移を含む鉄合金の相分離過程を表現するものである。

アレン＝カーン方程式は、

${{\partial \eta } \over {\partial t}}=M_{\eta }[\epsilon _{\eta }^{2}\nabla ^{2}\eta -f'(\eta )]$

で与えられる。ここで $M_{\eta }$ は移動度（mobility）、$f$ は自由エネルギー密度、$\eta$ は非保存秩序パラメータ（nonconserved order parameter）を表す。

この方程式は、ギンツブルグ＝ランダウ＝ウィルソン自由エネルギー汎関数の、L2 勾配流である。この式だと, 質量が保存していない事がネックになっている。そこでカーン＝ヒリアード方程式等が着目されるようになっている。

参考文献

• http://www.ctcms.nist.gov/~wcraig/variational/node10.html

• Samuel M. Allen and John W. Cahn, "Ground State Structures in Ordered Binary Alloys with Second Neighbor Interactions," Acta Met. 20, 423 (1972).

• J. W. Cahn and S. M. Allen, "A Microscopic Theory of Domain Wall Motion and Its Experimental Verification in Fe-Al Alloy Domain Growth Kinetics," J. de Physique 38, C7-51 (1977).

• S. M. Allen and J. W. Cahn, "A Microscopic Theory for Antiphase Boundary Motion and Its Application to Antiphase Domain Coarsening," Acta Met.27, 1085–1095 (1979).

• L. Bronsard & F. Reitich, On three-phase boundary motion and the singular limit of a vector valued Ginzburg–Landau equation, Arch. Rat. Mech. Anal. 124 (1993), 355–379.

• Xinfu Chen, Generation, propagation, and annihilation of metastable patterns, J. Diff. Eqns. 206 (2004), 399–437.