アルティン・リースの補題

数学において、アルティン・リースの補題（英: Artin–Rees lemma）は、ヒルベルトの基底定理のような結果とともに、ネーター環上の加群についての基本的な結果である。1950年代に数学者エミール・アルティンとDavid Rees（英語版）によって独立に証明された。特別な場合はオスカー・ザリスキに先に知られていた。

この補題から得られる結果にクルルの交叉定理がある。また、完備化の完全性を証明するためにも使われる^[1]。

補題の主張

I をネーター環 R のイデアルとする。M を有限生成 R-加群とし N をその部分加群とする。このときある整数 k ≥ 1 が存在して、n ≥ k に対して

I^{n}M\cap N=I^{n-k}(I^{k}M\cap N)

が成り立つ。

証明

必要な概念や表記が準備されてしまえば、補題は R が「ネーター的」であるという事実から直ちに従う^[2]。

任意の環 R および R のイデアル I に対して、 $\textstyle \mathrm {bl} _{I}R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}$ とおく（blow-up のbl）。部分加群の減少列 $M=M_{0}\supset M_{1}\supset M_{2}\supset \cdots$ が I-フィルター（I-filtration）であるとは、 $IM_{n}\subset M_{n+1}$ が成り立つときにいう。さらに、それが安定（stable）であるとは、十分大きい n に対して $IM_{n}=M_{n+1}$ であるときにいう。M に I-フィルターが与えられているとき、 $\textstyle \mathrm {bl} _{I}M=\bigoplus _{n=0}^{\infty }M_{n}$ とおく。これは $\mathrm {bl} _{I}R$ 上の次数加群である。

さて、M を R-加群とし、有限生成 R-加群による I-フィルター $M_{i}$ が与えられているとする。次のことを確認する。

\mathrm {bl} _{I}M

が

\mathrm {bl} _{I}R

上有限生成加群であることと、フィルターが I-安定であることは同値である。

実際、フィルターが I-安定であれば、 $\mathrm {bl} _{I}M$ ははじめの $k+1$ 個の $M_{0},\dots ,M_{k}$ によって生成され、これらは有限生成であるので、 $\mathrm {bl} _{I}M$ も有限生成である。逆に、 $\mathrm {bl} _{I}M$ が有限生成であれば、 $\textstyle \bigoplus _{j=0}^{k}M_{j}$ として、 $n\geq k$ に対して、各 f ∈ M_n は

f=\sum a_{ij}g_{ij},\quad a_{ij}\in I^{n-j}

と書ける。ただし $g_{ij}$ は $M_{j},j\leq k$ の生成元。つまり、 $f\in I^{n-k}M_{k}$ である。

これで R がネーター的であると仮定すれば補題を証明できる。 $M_{n}=I^{n}M$ とする。すると $M_{n}$ は I-安定なフィルターである。したがって、上記より、 $\mathrm {bl} _{I}M$ は $\mathrm {bl} _{I}R$ 上有限生成である。しかし $\mathrm {bl} _{I}R\simeq R[It]$ は R がネーター環なのでネーター環である。（環 $R[It]$ はリース代数（英語版）と呼ばれる。）したがって、 $\mathrm {bl} _{I}M$ はネーター加群であり任意の部分加群は $\mathrm {bl} _{I}R$ 上有限生成である。とくに、N に induced filtration が与えられているとき、すなわち $N_{n}=M_{n}\cap N$ であるとき、 $\mathrm {bl} _{I}N$ は有限生成である。すると induced filtration も上記の確認により I-安定である。