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二体問題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
ケプラー問題から転送)

古典力学において、二体問題(にたいもんだい、: Two-body problem)とは、互いに重力相互作用を及ぼす2つの質点の動きを扱う問題である。身近な例としては、惑星の周りを回る衛星恒星の周りを回る惑星、共通重心の周りを回る連星や、原子核の周りを回る古典的な電子などがある。

全ての二体問題は、独立した一体問題に帰着させて解くことができる。しかし、三体問題やそれ以上の多体問題は、特別な場合を除いて解くことはできない。

問題の記述

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時刻, を時刻 における2つの質点位置ベクトル, を2つの質点の質量万有引力定数, を最初の位置ベクトル, を最初の速度ベクトルとする。二体問題の最終的な目標は、連立方程式

を解き、ベクトル関数 , を、それぞれ , , , , , , , を用いて表すことである。

運動の第2法則により、

と書ける。ここで、

は質量1が質量2から受ける力であり、
は質量2が質量1から受ける力である。

これをもとに、2つの一体問題に帰着させることで、二体問題を解くことができる。式1と式2を足すと、重心の運動を表す方程式になる。式1から式2を引くと、ベクトルの経時変化となる。2つの解を組み合わせることで、軌跡が記述できる。

重心の動き

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式1と式2を足すと、

となる。ここで、2つめの等号は運動の第3法則を用いた。これを変形して

となり、これは重心の位置を表す。ここから得られる式

は、重心の速度と、 全運動量が一定であることを意味する。 つまり、重心の位置と速度は、初期位置と初期速度から一意に決まる。

変位ベクトルの動き

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上の式を相対質量で割り、1式から2式を引くと、

が得られる。ここで、は、質量2から質量1への変位ベクトルである。

2つの物体に働く力はの関数となり、の絶対値には関係しない。 この式は次のように書ける。

ここで換算質量であり、

である。

従って、軌跡の方程式は、時刻 における2物体間の重心位置ベクトル , 質量2から質量1への変位ベクトル を使って、

と書くことができる。

関連項目

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