出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
BD = CE ならば、ABC は二等辺三角形である。
シュタイナー・レームスの定理 (英: Steiner–Lehmus theorem) は、幾何学の定理である。この定理は C. L. Lehmus(英語版) によって予想され、その後ヤコブ・シュタイナーによって証明された。
等しい長さの2つの角の二等分線を有する全ての三角形は二等辺三角形である。
△ABCで、AB = c, BC = a, CA = b とする。
∠Cの二等分線をCE、∠Bの二等分線をBDとすると、角の二等分線の性質より、
![{\displaystyle BD^{2}=ac-AD\cdot CD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1910b385a185f3652ed56fc49352852b14672407)
![{\displaystyle CE^{2}=ab-AE\cdot BE}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13dd6f76844e0d8858d0629bb047369834be3117)
![{\displaystyle AD={\dfrac {bc}{a+c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd9541fd5240c2ec8c54169e37bc8c5577704ab)
![{\displaystyle DC={\dfrac {ab}{a+c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6c7df2140329d6f450eff998dd66edb136f5b4)
![{\displaystyle AE={\dfrac {bc}{a+b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef7ef124a9b6037ee1cc94a0a6dbd4962d16a645)
![{\displaystyle EB={\dfrac {ac}{a+b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1e34eeba65534d5817f0192802aebf4d96f141)
以上より、BD = CEのとき、
![{\displaystyle ac-{\dfrac {ab^{2}c}{(a+c)^{2}}}=ab-{\dfrac {abc^{2}}{(a+b)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c221352ad4b7b4c8cf10f3088c885fd383fb864e)
である。
つまり、
![{\displaystyle {\begin{aligned}ac-{\frac {ab^{2}c}{(a+c)^{2}}}&=ab-{\frac {abc^{2}}{(a+b)^{2}}}\\b+{\frac {b^{2}c}{(a+c)^{2}}}&=c+{\frac {bc^{2}}{(a+b)^{2}}}\\b(a+b)^{2}(a+c)^{2}+b^{2}c(a+b)^{2}&=c(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc^{2}(a+c)^{2}\\b(a+b)^{2}(a+c)^{2}+b^{2}c(a+b+c-c)^{2}&=c(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc^{2}(a+b+c-b)^{2}\\b(a+b)^{2}(a+c)^{2}+b^{2}c(a+b+c)^{2}-2b^{2}c^{2}(a+b+c)+b^{2}c^{3}&=c(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc^{2}(a+b+c)^{2}-2b^{2}c^{2}(a+b+c)+b^{3}c^{2}\\b(a+b)^{2}(a+c)^{2}+b^{2}c(a+b+c)^{2}-b^{3}c^{2}&=c(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc^{2}(a+b+c)^{2}-b^{2}c^{3}\\b((a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc(a+b+c)^{2}-b^{2}c^{2})&=c((a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc(a+b+c)^{2}-b^{2}c^{2})\\b&=c\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d167d9e872470c161347112ecc98f8b9922ff527)
但し、
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc(a+b+c)^{2}-b^{2}c^{2}\\&=((a+b)(a+c))^{2}-b^{2}c^{2}+bc(a+b+c)^{2}\\&=((a+b)(a+c)+bc)((a+b)(a+c)-bc)+bc(a+b+c)^{2}\\&=((a+b)(a+c)+bc)(a^{2}+a(b+c)+bc-bc)+bc(a+b+c)^{2}\\&=((a+b)(a+c)+bc)(a^{2}+a(b+c))+bc(a+b+c)^{2}\\&\neq 0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b6d98a55b87cde7e448896cdfe4dff6948fd915)
である。これは示されるべきことであった。