テンパズル

テンパズル（10パズル）は、4桁の数字を一桁の数字4つとみなし、これに四則演算などを用いて10を作る遊び。メイクテン（make10）とも呼ばれる。切符の番号や車のナンバープレートなどでの短時間の遊びに利用され、日本経済新聞で渋滞時の時間の潰し方として紹介されたことがある。

一般的なルール

一般的なルールとしては、四則演算のみの使用を許可し、数字の並べ替えも許可されるが、数字の結合は許可されない。一般的なルールの場合、全715通り中552通りの組み合わせ（並べ替えたものを数えると全10000通り中8147通り）で10を作ることができる。解き方を1つでも見つければ正解となるが、使っていない数字があった場合は正解にならない。

(例.)	1358	：	$8+(5-3)\times 1=10$	（解き方の一例）
		：	$5\times 8\div (3+1)=10$	（解ければどのような解き方でもよい）

数字は自由に並べ替えてもよいので、例えば「1358」と「5381」は同じ問題となる。

特殊ルール

地方ルールもしくは特殊ルールとして、指数関数や数学の記号（べき乗や！(階乗)など）の使用を許可することや、連続した数字をつなげて2桁の数字として扱うなどの応用もある。この場合はさらに10を作ることの出来る組み合わせが増える。大抵は一般的ルールで解けなかった場合にルールの拡張が行われる傾向がある。

(例.)	0123	：	$0+1+3^{2}=10\,$	（指数関数を使った例）
	1111	：	$11-1\times 1=10$	（最初の連続した1を2桁の数字として扱った例）

これらはあくまで特殊ルールであり、この方法でのみ解ける場合に「解ける」とはしない。ちなみに、数字を連結させた場合は、連結させない場合に加えて新たに70通り解ける組み合わせが増える。

逆に作ることの出来る組み合わせを減らす特殊ルールとして、数字の並べ替えを許可しない問題も存在する。この場合はマイナス記号を数字の前に置くことを許すかどうかというサブルールが別途規定されるが、マイナス記号は四則演算ではないためにマイナス記号が許可されないのが一般的である。なお、数字の並べ替えを許可せず、マイナス記号も許可しなかった場合、10000通り中5878通りで10を作ることが出来るが、それぞれの数字の難易度は桁違いに高くなる。

(例.)	1358	：	$1\times (-3+5)+8=10$	（マイナス記号が許可された場合の一例）
		：	$1-3\times (5-8)=10$	（マイナス記号が許可されない場合、1358の例ではこの方法のみ可能）

他にも、10以外の数字を作ったり、5桁以上の数から10を作ったりするルールも存在する。例えば16を作るルールは10を作るルールに比べて難易度は若干上昇する。5桁以上の数字から10を作る場合、数字の数が増えることにより難易度が大幅に低減する。

その他

ものによって解けるもの、解けないものが存在する上に、コンピュータを使わずに解けないことを証明することが極めて難しいために、出先などで切符やナンバープレートなどで解けそうで解けない番号に当たってしまったときは、非常に歯がゆい思いをすることが多い。解けるかどうかを見分ける一つの方法として、「０を含まない、互いに相異なる4つの数の場合は必ず解ける」ことが知られている。また、演算の途中経過が整数の範囲では解けなくとも、有理数の範囲で解ける問題も複数存在する。

解ける問題に対して難易度を定義するのも難しい問題である。一般的に加法や乗法などの交換法則が成立する演算子を利用して解ける場合は解法の種類が多く解きやすい。逆に減法や除法など交換法則が成立しない演算子を利用する解法のみでしか解けない問題は一般的に難易度が高く、パズルとして出題される場合は大抵このパターンであるが、難しい問題の中にも加法と乗法のみで解が導き出せる例も存在する。

一般に難易度は「解ける解法が少ない」という形で定義されるが、その場合、一般的なルールでは大抵の人間が直感的に解ける1116が難問に分類されてしまう不具合もあり、画一的な難易度の指標は確立されていない。

コンピュータによる解法

解法自体はそれほど難しくないが、それをコンピュータ上に実装するための方法が難しい。とくに「整数の範囲内では解けないが分数（有理数）の範囲では解ける」ケースが存在する点が難関となる。そのため有理数を計算できる電卓プログラム（Forthを参照のこと）を実装することが要求される。

解を得るための手順としては、

• 「1・2・3・4」から「6・7・8・9」までの順列を生成する（126通りある）。
• それぞれの数から、組合せを生成する。これは24通りある。
• 各組合せに対して、Forth 言語として意味のある式（数値四つ＋演算子三つの7要素である）をすべて生成する（最初の二つは数字であり、最後のひとつは演算子である）。
• その式をすべて評価し、解が10と一致するもののみを選ぶ。
• Forth 式を（括弧）のある式に変換する。

プログラム・アルゴリズムの分野では、逆ポーランド記法（後置記法）やスタックの例題として取り上げられることがあるが、プログラミング初級者にはほとんど歯が立たない。「逆ポーランド記法を評価できる仮想的マシンを実装し、そのプログラミング言語を生成するシステムを作る」といった言語処理系想定する方法が有効なので、システムエンジニアに対しては有効な課題である。Java などのオブジェクト志向プログラミング言語ではコンテナクラスもあり扱いやすいが、C 言語のような言語処理系においては、時間・空間計算量などの見積もりが大変であったため、「複数のプログラム間をファイル渡し（または標準入出力渡し）して解決する」という手法もあった。

参考資料

一般的なルールで10を作れる552個の数字の組み合わせ

1.	0019	0025	0028	0037	0046	0055	0115	0118	0119	0124	0125	0126	0127	0128	0129	0133	0135	0136	0137	0138
2.	0139	0145	0146	0147	0149	0155	0156	0159	0169	0179	0189	0199	0223	0224	0225	0226	0227	0228	0229	0234
3.	0235	0237	0238	0239	0244	0245	0246	0247	0248	0249	0255	0256	0257	0258	0259	0266	0267	0268	0278	0288
4.	0289	0334	0337	0339	0346	0347	0349	0355	0356	0357	0358	0367	0368	0377	0378	0379	0446	0449	0455	0456
5.	0458	0459	0466	0467	0468	0469	0477	0488	0555	0556	0557	0558	0559	0568	0569	0578	0579	0669	0679	0688
6.	0779	0789	0889	0899	0999	1114	1115	1116	1117	1118	1119	1123	1124	1125	1126	1127	1128	1129	1133	1134
7.	1135	1136	1137	1138	1139	1144	1145	1146	1147	1148	1149	1155	1156	1157	1158	1166	1167	1168	1189	1199
8.	1222	1223	1224	1225	1226	1227	1228	1229	1233	1234	1235	1236	1237	1238	1239	1244	1245	1246	1247	1248
9.	1249	1255	1256	1257	1258	1259	1266	1267	1268	1269	1277	1278	1279	1288	1289	1299	1333	1334	1335	1336
10.	1337	1338	1339	1344	1345	1346	1347	1348	1349	1355	1356	1357	1358	1359	1366	1367	1368	1369	1377	1378
11.	1379	1388	1389	1445	1446	1447	1448	1449	1455	1456	1457	1458	1459	1466	1467	1468	1469	1477	1478	1479
12.	1488	1489	1555	1556	1557	1558	1559	1566	1567	1568	1569	1577	1578	1579	1588	1589	1599	1668	1669	1678
13.	1679	1688	1689	1778	1779	1788	1789	1799	1888	1889	1899	1999	2222	2223	2224	2225	2226	2227	2228	2229
14.	2233	2234	2235	2236	2237	2238	2239	2244	2245	2246	2247	2248	2249	2255	2256	2258	2259	2266	2267	2268
15.	2269	2277	2278	2279	2288	2289	2299	2333	2334	2335	2336	2337	2338	2339	2344	2345	2346	2347	2348	2349
16.	2355	2356	2357	2358	2359	2366	2367	2368	2369	2377	2378	2379	2388	2389	2399	2444	2445	2446	2447	2448
17.	2449	2455	2456	2457	2458	2459	2466	2467	2468	2469	2477	2478	2479	2488	2489	2499	2555	2556	2557	2558
18.	2559	2566	2567	2568	2569	2577	2578	2579	2588	2589	2599	2666	2667	2668	2669	2677	2678	2679	2688	2689
19.	2699	2777	2778	2779	2788	2789	2799	2888	2889	2899	2999	3333	3334	3335	3336	3337	3338	3339	3344	3345
20.	3346	3347	3348	3349	3355	3356	3357	3358	3359	3366	3367	3368	3369	3377	3378	3379	3388	3389	3399	3445
21.	3446	3447	3448	3449	3455	3456	3457	3458	3459	3466	3467	3468	3469	3477	3478	3479	3488	3489	3499	3555
22.	3556	3557	3558	3559	3566	3567	3568	3569	3577	3578	3579	3588	3589	3599	3666	3667	3668	3677	3678	3679
23.	3688	3689	3699	3777	3778	3788	3789	3799	3888	3889	3899	4445	4446	4447	4448	4449	4455	4456	4457	4458
24.	4466	4467	4468	4469	4478	4479	4488	4489	4499	4555	4556	4557	4559	4566	4567	4568	4569	4577	4578	4579
25.	4588	4589	4599	4666	4667	4668	4669	4677	4678	4679	4688	4689	4699	4777	4778	4779	4788	4789	4799	4888
26.	4889	5555	5556	5557	5558	5559	5566	5567	5568	5569	5577	5578	5579	5588	5589	5599	5666	5667	5669	5677
27.	5678	5679	5688	5689	5699	5777	5778	5779	5789	5888	5889	5999	6668	6669	6678	6679	6688	6689	6699	6779
28.	6788	6789	6799	6889	7778	7779	7889	7899	8888	8889	8999	9999

以下は、一般的なルールで10を作れない163個の数字の組み合わせ。

1.	0000	0001	0002	0003	0004	0005	0006	0007	0008	0009
2.	0011	0012	0013	0014	0015	0016	0017	0018	0022	0023
3.	0024	0026	0027	0029	0033	0034	0035	0036	0038	0039
4.	0044	0045	0047	0048	0049	0056	0057	0058	0059	0066
5.	0067	0068	0069	0077	0078	0079	0088	0089	0099	0111
6.	0112	0113	0114	0116	0117	0122	0123	0134	0144	0148
7.	0157	0158	0166	0167	0168	0177	0178	0188	0222	0233
8.	0236	0269	0277	0279	0299	0333	0335	0336	0338	0344
9.	0345	0348	0359	0366	0369	0388	0389	0399	0444	0445
10.	0447	0448	0457	0478	0479	0489	0499	0566	0567	0577
11.	0588	0589	0599	0666	0667	0668	0677	0678	0689	0699
12.	0777	0778	0788	0799	0888	1111	1112	1113	1122	1159
13.	1169	1177	1178	1179	1188	1399	1444	1499	1666	1667
14.	1677	1699	1777	2257	3444	3669	3779	3999	4444	4459
15.	4477	4558	4899	4999	5668	5788	5799	5899	6666	6667
16.	6677	6777	6778	6888	6899	6999	7777	7788	7789	7799
17.	7888	7999	8899

以下は、一般的なルールでは10を作れないが、数字を連結させるルールでは10を作れる70個の数字の組み合わせ

1.	0001	0011	0012	0013	0014	0015	0016	0017	0018	0022
2.	0023	0033	0034	0044	0045	0056	0066	0067	0077	0078
3.	0088	0089	0099	0111	0112	0122	0123	0134	0144	0158
4.	0166	0167	0177	0178	0188	0236	0279	0336	0345	0369
5.	0448	0457	0589	1111	1112	1122	1159	1177	1178	1188
6.	1444	1666	1777	2257	3444	3669	3779	4444	4459	4477
7.	6666	6667	6677	6777	7777	7788	7789	7799	7888	8899

関連項目

• 乗車券
• パズル
• 組合せ (数学)
• アルゴリズム
• プログラミング (コンピュータ)
• 逆ポーランド記法（後置記法）
• スタック