ブリルアン関数 (―関数、Brillouin function、ブリュアン関数、ブリユアン関数[ 1] [ 2] [ 3] 特殊関数 である。
B
J
(
x
)
=
2
J
+
1
2
J
coth
(
2
J
+
1
2
J
x
)
−
1
2
J
coth
(
1
2
J
x
)
{\displaystyle B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)}
ブリルアン関数は通常、
x
{\displaystyle x}
実数 の変数、
J
{\displaystyle J}
整数 /半整数 である（下記を参照）。この場合では関数の値の範囲は-1から1となり、
x
→
+
∞
{\displaystyle x\to +\infty }
x
→
−
∞
{\displaystyle x\to -\infty }
この関数は、理想的な常磁性体 の磁化を計算する際に現れることでよく知られている。特に、物質の微小磁気モーメントの全角運動量量子数 Jと外部磁場
H
{\displaystyle H}
M
{\displaystyle M}
[ 2]
M
=
N
g
μ
B
J
⋅
B
J
(
x
)
{\displaystyle M=Ng\mu _{\rm {B}}J\cdot B_{J}(x)}
ここで
N
{\displaystyle N}
g
{\displaystyle g}
g因子 ,
μ
B
{\displaystyle \mu _{\rm {B}}}
ボーア磁子 ,熱エネルギー
k
B
T
{\displaystyle k_{\rm {B}}T}
ゼーマン エネルギーの比
x
=
g
μ
B
J
H
k
B
T
{\displaystyle x={\frac {g\mu _{\rm {B}}JH}{k_{\rm {B}}T}}}
k
B
{\displaystyle k_{\rm {B}}}
ボルツマン定数
T
{\displaystyle T}
ブリルアン関数の導出は以下の通りである[ 2]
z
{\displaystyle z}
軌道角運動量 ）のz-成分は
−
J
,
−
J
+
1
,
…
,
+
J
{\displaystyle -J,-J+1,\ldots ,+J}
H
{\displaystyle {\boldsymbol {H}}}
m
{\displaystyle m}
E
m
=
−
m
g
μ
B
H
=
−
k
B
T
x
m
/
J
{\displaystyle E_{m}=-mg\mu _{\rm {B}}H=-k_{\rm {B}}Txm/J}
と表される。ここで
g
{\displaystyle g}
g因子 、
μ
B
{\displaystyle \mu _{\rm {B}}}
ボーア磁子 、
x
{\displaystyle x}
ボルツマン因子 によって与えられ
P
(
m
)
=
e
−
E
m
/
(
k
B
T
)
/
Z
=
e
x
m
/
J
/
Z
{\displaystyle P(m)=e^{-E_{m}/(k_{\rm {B}}T)}/Z=e^{xm/J}/Z}
である。ここで
Z
{\displaystyle Z}
分配関数 ）は全確率の総和を1にするための規格化定数である。
Z
{\displaystyle Z}
P
(
m
)
=
e
x
m
/
J
/
(
∑
m
′
=
−
J
J
e
x
m
′
/
J
)
{\displaystyle P(m)=e^{xm/J}/\left(\sum _{m'=-J}^{J}e^{xm'/J}\right)}
を得る。以上より軌道量子数
m
{\displaystyle m}
期待値 は
⟨
m
⟩
=
(
−
J
)
×
P
(
−
J
)
+
⋯
+
J
×
P
(
J
)
=
(
∑
m
=
−
J
J
m
e
x
m
/
J
)
/
(
∑
m
=
−
J
J
e
x
m
/
J
)
{\displaystyle \langle m\rangle =(-J)\times P(-J)+\cdots +J\times P(J)=\left(\sum _{m=-J}^{J}me^{xm/J}\right)/\left(\sum _{m=-J}^{J}e^{xm/J}\right)}
である。分母は等比級数であり、また分子は等比等差級数の一種[ 4]
⟨
m
⟩
=
J
B
J
(
x
)
{\displaystyle \langle m\rangle =JB_{J}(x)}
と表されることがわかる。単位体積あたり
N
{\displaystyle N}
M
=
N
g
μ
B
⟨
m
⟩
=
N
g
J
μ
B
B
J
(
x
)
{\displaystyle M=Ng\mu _{\rm {B}}\langle m\rangle =NgJ\mu _{\rm {B}}B_{J}(x)}
である。
ランジュバン関数（赤）と
tanh
(
x
/
3
)
{\displaystyle \tanh {(x/3)}}
古典的な極限では、モーメントは磁場中で連続的に整列し、
J
{\displaystyle J}
J
→
∞
{\displaystyle J\to \infty }
ランジュバン関数 (Langevin function) になる。ランジュバン関数はポール・ランジュバン にちなんで名づけられた。
L
(
x
)
=
coth
(
x
)
−
1
x
{\displaystyle L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}}
x
≪
1
{\displaystyle x\ll 1}
μ
B
H
/
k
B
T
{\displaystyle \mu _{\rm {B}}H/k_{\rm {B}}T}
B
J
(
x
)
≃
J
+
1
J
x
3
{\displaystyle B_{J}(x)\simeq {\frac {J+1}{J}}{\frac {x}{3}}}
と近似される。よって、磁化の式は
M
=
C
⋅
H
T
{\displaystyle M=C\cdot {\frac {H}{T}}}
となり、キュリーの法則 を導くことができる。ここで
C
=
N
g
2
μ
B
2
J
(
J
+
1
)
3
k
B
{\displaystyle C={\frac {Ng^{2}\mu _{\rm {B}}^{2}J(J+1)}{3k_{\rm {B}}}}}
g
J
(
J
+
1
)
{\displaystyle g{\sqrt {J(J+1)}}}
x
→
∞
{\displaystyle x\to \infty }
M
=
N
g
μ
B
J
{\displaystyle M=Ng\mu _{\rm {B}}J}
^ 『学術用語集』物理学編(増訂版) [リンク切れ ^ a b c C. Kittel, Introduction to Solid State Physics (8th ed.), pages 303-4 ISBN 978-0471415268
^ Darby, M.I. (1967), “Tables of the Brillouin function and of the related function for the spontaneous magnetization”, Brit. J. Appl. Phys. 18 : 1415–1417, doi :10.1088/0508-3443/18/10/307 ^ “アーカイブされたコピー ”. 2008年9月18日時点のオリジナル よりアーカイブ。2008年8月2日 閲覧。
