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リュイリエの定理 （英 : L'Huilier's theorem 初等幾何学 における三角形 についての定理 で、1809年 に[ 1] スイス の数学者 サイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエ によって提唱されたものである。
面積S の三角形の3辺を a , b , c
内接円の半径r の逆数は
1
r
=
a
+
b
+
c
2
S
{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {a+b+c}{2S}}}
3傍接円の半径 r A , r B , r C
1
r
A
=
−
a
+
b
+
c
2
S
{\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{A}}}}={\frac {-a+b+c}{2S}}}
1
r
B
=
a
−
b
+
c
2
S
{\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{B}}}}={\frac {a-b+c}{2S}}}
1
r
C
=
a
+
b
−
c
2
S
{\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{C}}}}={\frac {a+b-c}{2S}}}
故に逆数和は
1
r
A
+
1
r
B
+
1
r
C
=
−
a
+
b
+
c
2
S
+
a
−
b
+
c
2
S
+
a
+
b
−
c
2
S
=
a
+
b
+
c
2
S
=
1
r
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r_{\text{A}}}}+{\frac {1}{r_{\text{B}}}}+{\frac {1}{r_{\text{C}}}}&={\frac {-a+b+c}{2S}}+{\frac {a-b+c}{2S}}+{\frac {a+b-c}{2S}}\\&={\frac {a+b+c}{2S}}={\frac {1}{r}}\end{aligned}}}
となる。
リュイリエは、彼の著書 (Lhuilier, 1809) において
S
=
r
⋅
r
A
⋅
r
B
⋅
r
C
A
{\displaystyle S={\sqrt {r\cdot r_{\text{A}}\cdot r_{\text{B}}\cdot r_{\text{C}}{\vphantom {A}}}}}
であることも示唆している。
これより
r
A
r
B
r
C
=
S
2
r
{\displaystyle r_{\text{A}}\,r_{\text{B}}\,r_{\text{C}}={\frac {S^{2}}{r}}}
であるから、リュイリエの定理：
1
r
A
+
1
r
B
+
1
r
C
=
1
r
{\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{A}}}}+{\frac {1}{r_{\text{B}}}}+{\frac {1}{r_{\text{C}}}}={\frac {1}{r}}}
と辺々掛け合わせると
r
B
r
C
+
r
C
r
A
+
r
A
r
B
=
s
2
{\displaystyle r_{\text{B}}\,r_{\text{C}}+r_{\text{C}}\,r_{\text{A}}+r_{\text{A}}\,r_{\text{B}}=s^{2}}
が得られる。ここで s は △ABC の半周長 (a + b + c )/2 カール・フォイエルバッハ が1822年 に得たものである[ 1] [ 2]
^ a b 岩田至康 『幾何学大辞典』 1巻、槙書店 、1971年、15,193頁。
^ それよりも前にリュイリエが彼の著書 (Lhuilier, 1809) において全く同等の等式を示唆している（224頁）。
Simon Lhuilier (1809). Elémens d'analyse géométrique et d'analyse algébrique, appliquées à la recherche des lieux géométriques . A Paris: chez J. J. Paschoud; à Genève: chez le même libraire. pp. 223-224. doi :10.3931/e-rara-4330 
