一様凸空間

数学において一様凸空間（いちようとつくうかん、英: uniformly convex space）あるいは一様円形空間（uniformly rotund space）は、回帰的バナッハ空間の代表的な例である。一様凸性の概念は、1936年にジェームス・A・クラークソンによって初めて導入された。

定義

一様凸空間とは、すべての $0<\varepsilon \leq 2$ に対して、ある $\delta >0$ が存在し、$\|x\|=1$, $\|y\|=1$ を満たす二つの任意のベクトルに対して

$\|x-y\|\geq \varepsilon$

ならば

$\left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta$

が成立するようなノルムベクトル空間のことをいう。直感的に、単位球の内側の線分の中心が、その線分が短すぎない限り、単位球のより内側に存在することをいう。

性質

• ミルマン＝ペティスの定理によると、すべての一様凸バナッハ空間は回帰的であるが、その逆は真ではない。
• $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ が一様凸バナッハ空間において $f$ に弱収束する列で $\|f_{n}\|\to \|f\|$ を満たすなら、$f_{n}$ は $f$ に強収束する: $\|f_{n}-f\|\to 0.$
• バナッハ空間 $X$ が一様凸であるための必要十分条件は、その双対 $X^{*}$ が一様滑らかであることである。
• すべての一様凸空間は狭義凸である。

例

• すべてのヒルベルト空間は一様凸である。
• 一様凸バナッハ空間のすべての閉部分空間は一様凸である。
• ハンナーの不等式によると、L^p 空間（$1<p<\infty$）は一様凸である。
• $L^{\infty }$ は一様凸ではない。

関連項目

• 凸度と凸特性数
• 凸函数
• 一様に滑らかな空間

参考文献

• Clarkson, J. A. (1936). “Uniformly convex spaces”. Trans. Amer. Math. Soc. (American Mathematical Society) 40 (3): 396–414. doi:10.2307/1989630. JSTOR 1989630 .
• Hanner, O. (1956). “On the uniform convexity of $L^{p}$ and $l^{p}$”. Ark. Mat. 3: 239–244. doi:10.1007/BF02589410 .

• Beauzamy, Bernard (1985) [1982]. Introduction to Banach Spaces and their Geometry (Second revised ed.). North-Holland. ISBN 0-444-86416-4 
• Per Enflo (1972). “Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm”. Israel Journal of Mathematics 13 (3–4): 281–288. doi:10.1007/BF02762802. 
• Lindenstrauss, Joram and Benyamini, Yoav. Geometric nonlinear functional analysis Colloquium publications, 48. American Mathematical Society.