出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
数学 の分野における有界関数 とは、下界 と上界 、すなわちその関数のどの値の絶対値 よりも大きい定数が存在する関数のことを言うが、そのような関数の族 を考えた場合には、関数によってそのような定数が異なるものとなる場合がある。もしもそれら全てを抑えるような一つの定数を見つけることが出来るなら、そのような関数の族は一様有界 （いちようゆうかい、英 : uniform bounded ）であると呼ばれ、そのような性質のことを一様有界性 （いちようゆうかいせい、英 : uniform boundedness ）と呼ぶ。
関数解析学 における一様有界性原理 （英語版 ）
F
=
{
f
i
:
X
→
K
,
i
∈
I
}
{\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to K,i\in I\}}
を、
I
{\displaystyle I}
添え字 付けられている関数の族とする。ここで
X
{\displaystyle X}
K
{\displaystyle K}
実数 あるいは複素数 の集合である。
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
一様有界 であるとは、
|
f
i
(
x
)
|
≤
M
∀
i
∈
I
∀
x
∈
X
{\displaystyle |f_{i}(x)|\leq M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X}
を満たすようなある実数
M
{\displaystyle M}
一般的な場合として
Y
{\displaystyle Y}
d
{\displaystyle d}
距離空間 とする。このとき、集合
F
=
{
f
i
:
X
→
Y
,
i
∈
I
}
{\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to Y,i\in I\}}
が一様有界 であるとは、
d
(
f
i
(
x
)
,
a
)
≤
M
∀
i
∈
I
∀
x
∈
X
{\displaystyle d(f_{i}(x),a)\leq M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X}
を満たすような
Y
{\displaystyle Y}
a
{\displaystyle a}
M
{\displaystyle M}
すべての実数
x
{\displaystyle x}
整数
n
{\displaystyle n}
f
n
(
x
)
=
sin
n
x
{\displaystyle f_{n}(x)=\sin nx\,}
上の例の関数の導関数
f
n
′
(
x
)
=
n
cos
n
x
{\displaystyle f'_{n}(x)=n\,\cos nx}
f
n
′
{\displaystyle f'_{n}\,}
|
n
|
{\displaystyle |n|\,}
|
n
|
≤
M
{\displaystyle |n|\leq M}
n
{\displaystyle n}
M
{\displaystyle M}
Ma, Tsoy-Wo (2002). Banach-Hilbert spaces, vector measures, group representations . World Scientific. p. 620pp. ISBN 981-238-038-8 , important to look up the site on its preface 
