中心化群と正規化群

数学、とくに群論において、群 $G$ の部分集合 $S$ の中心化群 (英: centralizer) とは、 $S$ の各元と可換な $G$ の元全体からなる集合であり、 $S$ の正規化群 (normalizer) とは、「全体で」 $S$ と可換な $G$ の元全体からなる集合である。 $S$ の中心化群と正規化群は $G$ の部分群であり、 $G$ の構造について知る手掛かりを得られる。

定義

群 $G$ の部分集合 $S$ の中心化群 (centralizer) は次で定義される^[1]。

\mathrm {C} _{G}(S)=\{g\in G\mid sg=gs{\text{ for all }}s\in S\}

文脈から群 $G$ が明らかなときには、表記 $C G (S)$ から $G$ を省くことがある。また $S$ が単集合 ${a$ } のときには中心化群 $C G ({a})$ は $C G (a)$ と略記される。この中心化群の別の表記として $Z(a)$ もあるが、これはあまり一般的でなく、群の中心の表記と同じになってしまう。この表記では、群 $G$ の中心 $Z(G)$ と元 $g \in G$ の中心化群 $Z(g)$ とを混同しないよう注意しなければならない。

群 $G$ における $S$ の正規化群 (normalizer) は次で定義される。

\mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}

中心化群の定義と似ているが同じではない。 $g$ が $S$ の中心化群の元で $s$ が $S$ の元であれば、 $gs = sg$ でなければならないが、 $g$ が正規化群の元であれば、 $s$ とは異なってもよい $t \in S$ に対して $gs = tg$ である。中心化群のときに述べた、 $G$ を省いたり単集合のときにブレース（中括弧）を省いたりする記法は、正規化群の表記に対しても同じく適用される。 $S$ の正規化群を $S$ の正規包（英語版） (normal closure) すなわち、 $S$ の生成する正規部分群 $⟨⟨ S ⟩⟩$ と混同してはならない。

性質

下記の性質は Isaacs 2009, Chapters 1−3 による。

$S$ の中心化群と正規化群はともに $G$ の部分群である。
明らかに、 $C G (S) \subseteq N G (S)$ である。実は、 $C G (S)$ は必ず $N G (S)$ の正規部分群である。
$C G (C G (S))$ は $S$ を含むが、 $C G (S)$ は $S$ を含むとは限らない。 $S$ のすべての元 $s, t$ に対して $st = ts$ であれば含む。なのでもちろん $H$ が $G$ の可換な部分群であれば $C G (H)$ は $H$ を含む。
$S$ が $G$ の部分半群であれば、 $N G (S)$ は $S$ を含む。
$H$ が $G$ の部分群であれば、 $H$ を正規部分群として含むような最大の $G$ の部分群が $N G (H)$ である。
元 $a \in G$ の属する共役類の大きさと中心化群の指数 $[G : C G (a)]$ は等しい。
群 $G$ の部分群 $H$ と共役な部分群の数と正規化群の指数 $[G : N G (H)]$ は等しい。
$G$ の部分群 $H$ は、 $N G (H) = H$ であるときに、 $G$ の自己正規化部分群 (self-normalizing subgroup) と呼ばれる。
$G$ の中心はちょうど $C G (G)$ であり、 $G$ がアーベル群であることと $C G (G) = Z(G) = G$ は同値である。
単集合に対して、 $C G (a) = N G (a)$ である。
対称性により、 $S$ と $T$ が $G$ の 2 つの部分集合であれば、 $T \subseteq C G (S)$ と $S \subseteq C G (T)$ は同値である。
群 $G$ の部分群 $H$ に対して、N/C定理 (N/C theorem) は、剰余群 $N G (H)/C G (H)$ は $H$ の自己同型群 $Aut(H)$ の部分群に同型であるという定理である。 $N G (G) = G$ および $C G (G) = Z(G)$ であるから、N/C theorem は、 $G /Z(G)$ は、G のすべての内部自己同型からなる、 $Aut(G)$ の部分群 $Inn(G)$ に同型であるということも意味している。
群準同型 $T : G \to Inn(G)$ を $T (x)(g) = T x (g) = xgx -1$ によって定義すれば、 $N G (S)$ と $C G (S)$ を $Inn(G)$ の $G$ への群作用の言葉によって記述できる： $S$ の $Inn(G)$ における安定化群は $T (N G (S))$ であり、 $S$ を固定する $Inn(G)$ の部分群は $T (C G (S))$ である。

脚注

^ Jacobson (2009), p. 41

参考文献

Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: A Graduate Course, Graduate Studies in Mathematics, 100 (reprint of the 1994 original ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, pp. xii+516, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR2472787
Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra, I (second ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

定義

性質

脚注

参考文献

関連項目