二重交換団

数学の代数学の分野において、ある（多元環や群のような）半群の部分集合 S の二重可換子環（にじゅうかかんしかん、英: bicommutant）とは、その部分集合の可換子環の可換子環のことを言う。双可換子環や第二可換子環とも呼ばれ、 $S^{\prime \prime }$ と表記される。

二重可換子環は、作用素環の代数的構造と解析的構造とを関連付けるフォン・ノイマンの二重可換子環定理（英語版）の存在により、作用素論の分野において特に有用となる。特に、M をあるヒルベルト空間 H に対するC*-環 B(H) 内の単位的（unital）な自己共役作用素環とすると、M の弱閉包と強閉包および二重可換子環は等しくなる。このことから、B(H) のある単位的なC*-部分環 M がフォン・ノイマン環であるための必要十分条件は、 $M=M^{\prime \prime }$ であることが分かる。またこの等式が成り立たないなら、フォン・ノイマン環が $M^{\prime \prime }$ を生成する。

S の二重可換子環は常に S を含む。したがって $S^{\prime \prime \prime }=(S^{\prime \prime })^{\prime }\subseteq S^{\prime }$ が成立する。一方、 $S^{\prime }\subseteq (S^{\prime })^{\prime \prime }=S^{\prime \prime \prime }$ も成立する。したがって $S^{\prime }=S^{\prime \prime \prime }$ が成り立ち、S の二重可換子環の可換子環は、S の可換子環と等しいことが分かる。帰納的に、次が成り立つ。