余代数

余代数（よだいすう、英語: coalgebra）とは、単位元を持つ結合代数に対して、圏の双対をとったものをいう。

定義

$K$ を体、$C$ を $K$ 上のベクトル空間とする。2つの線型写像 $\Delta :C\to C\otimes C$、$\varepsilon :C\to K$ が存在して、これらが

1. $(\mathrm {id} \otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} )\circ \Delta \quad$（余結合律）、
2. $(\mathrm {id} \otimes \varepsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\varepsilon \otimes \mathrm {id} )\circ \Delta \quad$（余単位律）

を満たすとき、即ち図式

が可換であるとき、組 $(C,\Delta ,\varepsilon )$ を余代数という。また、$\Delta$ を余積、$\varepsilon$ を余単位という。

諸概念

余代数射

$(C,\Delta ,\varepsilon )$、$(D,\Delta ',\varepsilon ')$ を $K$-余代数とする。$K$-線型写像 $f:C\to D$ が

$\Delta '\circ f=(f\otimes f)\circ \Delta ,$

$\varepsilon '\circ f=\varepsilon$

を満たすとき $f$ を余代数射（coalgebra morphism）という。これは以下の図式が可換であることと同値:

部分余代数

$(C,\Delta ,\varepsilon )$ を余代数、$D\subset C$ とする。$D$ が部分余代数であるとは、$\Delta (D)\subseteq D\otimes D$ を満たすことをいう。このとき、 $(D,\Delta |_{D},\varepsilon |_{D})$ は余代数の構造を持つ。

余イデアル

$I$ を余代数 $(C,\Delta ,\varepsilon )$ の部分ベクトル空間とする。$I$ が余イデアル（coideal）であるとは

$\Delta (I)\subseteq I\otimes C+C\otimes I,$

$\varepsilon (I)=0$

を満たすことをいう。このとき商 $C/I$ は余代数の構造を持つ。

余可換余代数と逆余代数

写像 $\mathrm {tw}$ を $\mathrm {tw} :C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\otimes c'\mapsto c'\otimes c$ で定める。余代数 $(C,\Delta ,\varepsilon )$ が余可換であるとは、 $\mathrm {tw} \circ \Delta =\Delta$ が成り立つことをいう。ここで新しい余積を $\Delta _{\mathrm {tw} }=\mathrm {tw} \circ \Delta :C\to C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\mapsto \sum _{i}c_{i}^{(2)}\otimes c_{i}^{(1)}$ によって定めると、$(C,\Delta _{\mathrm {tw} },\varepsilon )$ は余代数になりこれを逆余代数という。余代数が余可換であることと $\Delta =\Delta _{\mathrm {tw} }$ となることは同値である。

SweedlerのΣ-記法

$(C,\Delta ,\varepsilon )$ を余代数とする。$c\in C$ とすると、余積は

$\Delta (c)=\sum _{i}c^{i}\otimes {\tilde {c}}^{i}\quad (c^{i},{\tilde {c}}^{i}\in C)$

と書ける。SweedlerのΣ-記法ではこれを

$\Delta (c)=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}$

と表す。このとき、総和の記号は省かれる場合がある。この記法を用いると、余結合律と余単位律は以下のようになる:

$\sum c_{(1)(1)}\otimes c_{(1)(2)}\otimes c_{(3)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)(1)}\otimes c_{(2)(2)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}\quad$（余結合律）

$\sum \varepsilon \left(c_{(1)}\right)c_{(2)}=\sum c_{(1)}\varepsilon \left(c_{(2)}\right)=c\quad$（余単位律）

例

• $S$ を空でない任意の集合、$kS$ を $S$ の元を基底とした $k$-ベクトル空間とする。任意の $s\in S$ に対して余積と余単位を

$\Delta (s)=s\otimes s,\quad \varepsilon (s)=1$

で定めると、$(kS,\Delta ,\varepsilon )$ は $k$-余代数の構造を持つ。

• $H$ を $K$-ベクトル空間、$\{c_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}$ をその基底とする。任意の $n\in \mathbb {N}$ に対して余積と余単位を

$\Delta (c_{i})=\sum _{i=0}^{n}c_{i}\otimes c_{n-i},\quad \varepsilon (c_{i})=\delta _{0,n}$

で定めると、$(H,\Delta ,\varepsilon )$ は $k$-余代数の構造を持ち、これを devided power coalgebra という。

• $M_{n}(K)$ を $n^{2}$ 次元 $K$-ベクトル空間、$\{e_{ij}\}_{1\leq i,j\leq n}$ をその基底とする。余積と余単位を

$\Delta (e_{ij})=\sum _{k}e_{ik}\otimes e_{kj},\quad \varepsilon (e_{ij})=\delta _{i,j}$

によって定めると $(M_{n}(K),\Delta ,\varepsilon )$ は余代数となっていて、これを matrix coalgebra という。

• $(P,\leq )$ を局所有限半順序集合とする。$T=\{(x,y)\in P\times P\mid x\leq y\}$ として $V$ を $T$ の元全体を基底として持つ $K$-ベクトル空間とする。任意の $(x,y)\in T$ に対して余積と余単位を

$\Delta (x,y)=\sum _{x\leq z\leq y}(x,z)\otimes (z,y),\quad \varepsilon (x,y)=\delta _{x,y}$

で定めると $(P,\Delta ,\varepsilon )$ は余代数となる。

• $C$ を $K$-ベクトル空間とし、その基底を $\{s,c\}$ とする。余積と余単位を

${\begin{alignedat}{3}\Delta (s)&=s\otimes c+c\otimes s,\quad &\Delta (c)&=c\otimes c-s\otimes s,\\\varepsilon (s)&=0,\quad &\varepsilon (c)&=1\end{alignedat}}$

で定めると $(C,\Delta ,\varepsilon )$ は余代数となり、これを trigonometric coalgebra という。

K-代数とK-余代数の双対空間

$C$ を $K$-余代数、$A$ を $K$-代数、とする。ここで$f,g\in \mathrm {Hom} _{K}(C,A)$ の積を$f\ast g:=m\circ f\otimes g\circ \Delta$、即ち任意の $c\in C$に対して

$(f\ast g)(c)=\sum f\left(c_{(1)}\right)g\left(c_{(2)}\right)$

で定める。$\Delta$ が余結合的であることから積 $\ast$ は結合的であることがわかる。この積によって $\mathrm {Hom} _{K}(A,C)=:C^{\ast }$ は $K$-代数となり、$C$ の双対代数あるいは畳み込み代数という。単位は

$\varepsilon \circ u:C\to K\to A,\quad c\mapsto \varepsilon (c)1_{A}$

で与えられる。また$C$ が余可換であることと、全ての可換な $A$ に対して $\mathrm {Hom} _{K}(A,C)$ が可換であることは同値である。

逆に代数が有限次元の場合、代数の双対として余代数が定義できる。$A$ を有限 $K$-次元代数とすると、準同型写像

$A^{\ast }\otimes A^{\ast }\to (A\otimes A)^{\ast },\quad f\otimes g\mapsto [a\otimes b\mapsto f(a)g(b)]$

が存在して $A^{\ast }\otimes A^{\ast }\simeq (A\otimes A)^{\ast }$ となる。積と単位の双対

${\begin{aligned}m^{\ast }&:a\to (A\otimes A)^{\ast }\simeq A^{\ast }\otimes A^{\ast },\\u^{\ast }&:A\to K,\quad f\mapsto f(1)\end{aligned}}$

によって余積と余単位がそれぞれ定義され、余代数の構造が得られる。一般に $A$ が無限次元の場合には、このようにして余代数の構造を持つことはない。

参考文献

• Tomasz Brzezinski; Robert Wisbauer (2003). Corings and Comodules. Cambridge University Press 
• Moss E. Sweedler (1969). Hopf algebras. Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin 
• Sorin Dăscălescu; Constantin Năstăsescu; Șerban Raianu (2001). Hopf Algebra: An Introduction. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. 235. Marcel-Dekker