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ライプニッツの積分法則(ライブニッツのせきぶんほうそく)とは、積分に対する微分を計算する法則。名称はゴットフリート・ライプニッツに由来する。
以下の様に積分が定義された場合、
.
この積分の導関数は次のようにして得られる[1]。
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e29fde9e09b077cde9d47edebc03615bc8567a)
積分の上限と下限がxの関数ではなく定数の場合は、
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9e4764454b92f4e9df45732813ecfc6abe0ac99)
となる。これは(1)式の第一項と二項の微分が零の場合と同じである。
そして
の場合は、次のようになる。
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)dt\right)=f{\big (}x,x{\big )}+\int _{a}^{x}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5be991d40d74f0fc8a833ec3e437b5c226fe92f)
これは(1)式の第一項の微分が1、第一項の微分が零の場合と同じである。
関連項目[編集]