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普遍係数定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
双対普遍係数定理から転送)

普遍係数定理(ふへんけいすうていり、: universal coefficient theorems)とは、単項イデアル整域R上定義されたホモロジーコホモロジーから、R-加群を係数とするホモロジーやコホモロジーを求める一連の定理の総称である。

定理はR-加群として自由な任意のチェイン複体に対して成立し、したがって特に特異ホモロジー・コホモロジーのような位相幾何学的な背景を持つホモロジー・コホモロジーに対して成立する。

準備

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本節では普遍係数定理を述べる準備として、チェイン複体とそのホモロジー、コチェイン複体とそのコホモロジーを復習し、さらに普遍係数定理を定式化するのに必要な概念であるTor関手、Ext関手を定義する。

ホモロジー

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R可換環とするとき、整数nを添え字として持つR-加群と写像の組で、

となるものR上のチェイン複体といい[1]

n次のホモロジー加群という[1]

コホモロジー

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可換環Rに対し、R上のチェイン複体になるものをコチェイン複体といい[2]

n次のコホモロジー加群という[2]

Tor関手

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Rを単項イデアル整域とし、MNR-加群とする。さらに短完全系列

ABが自由R-加群であるものを選び[注 1]

を考えると必ずしも完全系列にならない[注 2]。そこで

と定義する[4]の定義はABの取り方に依存しているが、実はABを別のものに取り替えて定義したと自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである[4]

の事をTor関手という。


なお、Rが単項イデアル整域とは限らない一般の環の場合にもTorが定義できるが本項では割愛する。またの事をと表記し、より一般にn0)を定義する場合もあるが、これも本項では割愛する。これらに関する詳細はTor関手の項目を参照されたい。

Tor関手は以下の性質を満たす。

命題 ―  Rを単項イデアル整域、MNR-加群とするとき、次が成立する:

  1. [5]
  2. 。ここで「」はR-加群としての直和を表す[6]
  3. M自由R-加群なら
  4. [7]
  5. 、ここでgcd(x,y)xyの最大公約元である。
  6. Kを標数0の体とするとき、任意の有限生成R-加群Mに対し、

Rが単項イデアル整域であるので、MNが有限生成である場合、有限生成加群の基本定理から、MRnと複数のR/(xi)の直和で書け、Nも同様である。上述の1., 2.からTorRは直和に関して分解できるので、上述の3., 5.を使うと、これらに対するTorRを容易に計算できる。

Ext関手

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Torのときと同様、Rを単項イデアル整域とし、MNR-加群とし、さらに短完全系列

ABが自由R-加群であるものを選ぶ[注 1]。そして

を考えると必ずしも完全系列にはならない[注 3]。そこで

と定義する[9]。ここでCoker余核である。すなわち、に対し、である。


の定義はABの取り方に依存しているが、実はABを別のものに取り替えて定義したと自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである[9]

の事をExt関手という。


またに関してもと同様、Rが一般の環の場合に対しても定義できるし、が定義できてであるが、本項では説明を割愛する。詳細はExt関手の項目を参照されたい。

Ext関手は以下を満たす:

命題 ―  Rを単項イデアル整域、MNR-加群とするとき、次が成立する:

  1. 。ここで「」はR-加群としての直和である[10]
  2. 。ここで「」はR-加群としての直積である[10]
  3. Mが自由R-加群なら
  4. [7]
  5. 、ここでgcd(x,y)xyの最大公約元である。
  6. Kを標数0の体とするとき、任意の有限生成R-加群Mに対し、

TorRの場合と同様、Mが有限生成R-加群であれば、これらの性質からExtRを具体的に計算できる。

Torに関する普遍係数定理

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ホモロジーの場合

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次の定理が成立することが知られている:

定理 (Torに関する普遍係数定理) ―  R単項イデアル整域とし、MR-加群とし、さらにR上のチェイン複体で、各nに対しR-加群として自由なものとする。このとき

短完全系列となるαβが存在する[11]

しかもこの短完全系列はおよびMに関して自然である。さらにこの短完全系列は(自然ではなく)分裂する[11]

上記の定理でαと具体的に書ける[11]


なお、係数環 RMの場合は、上記の定理はボックシュタイン・スペクトル系列英語版の特別な場合に相当する。


で各が有限生成加群である場合はホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、は自由加群部分Fnと素数pに対するの和で書ける。(有限個の素数pを除いてである)。ここで前述したTorの性質を利用すると、以下がわかる:

命題 ― 上記の設定のもと:

コホモロジーの場合

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チェイン複体とコチェイン複体は添字の向きが違うだけなので、コチェイン複体に関しても同様の事実が従う:

定理 ―  RM上述の定理と同様に取り、を任意のコチェイン複体とすると、

短完全系列となるαβが存在する[12]

この短完全系列がMに関して自然である事や分裂する事も前述の定理と同様である。


またで各が有限生成加群である場合は、ホモロジー場合と同様の形で具体的に書ける。

M係数のホモロジー・コホモロジーに対する普遍係数定理

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上述のコチェイン複体関する普遍係数定理をMを係数に持つコホモロジー(例えばMを係数にもつ特異コホモロジー)に適用する場合は注意が必要である。

定義

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これまで同様Rが単項イデアル整域とし、MR-加群する。R上のチェイン複体に対し、

と定義すると

であるのではコチェイン複体である。Mに関する双対コチェイン複体: dual cochain complex)という[12]

定義 ―  

  • n次のMに係数を持つホモロジー加群という[13]
  • n次のMに係数を持つコホモロジー加群という[13]

ホモロジーの場合

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Mに係数を持つホモロジー加群の方はその定義により、

なので、前述のホモロジーに関する普遍係数定理を単純に置き換える事で、以下の系が従う:

 ―  RM前述の定理と同様に取り、を任意のチェイン複体とすると、

が短完全系列となるαβが存在する。

コホモロジーの場合

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一方、Mを係数を持つコホモロジー加群の場合は若干の注意が必要である。実際、としてやると、

であるが、の方は

であり、コホモロジーの普遍係数定理における

とは異なるので単純に置き換える事ができない。しかし適切な条件下ではこれら2つが等しくなり、Mを係数に持つコホモロジー加群の普遍係数定理を示す事ができる:

定理 ―  RM前述の定理と同様に取り、さらにR上のチェイン複体で各nに対し、R-加群として自由なものとする。

このときMR上有限生成であるかもしくは全てのnに対してR上有限生成であれば、任意のnに対して以下が完全系列になるαβが存在する[14]:

.

Extに関する普遍係数定理

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Ext関手を使う事で、ホモロジーとコホモロジーの関係性を示す以下の普遍係数定理を示す事ができる。

前に述べたように、チェイン複体の双対コチェイン複体に対し、Mを係数に持つコホモロジー加群をにより定義する。

このとき以下の定理がしたがう:

定理 (Extに関する普遍係数定理) ―  R単項イデアル整域とし、MR-加群とし、さらにR上のチェイン複体で各nに対し、R-加群として自由なものする。このとき、

短完全系列となるαβが存在する。

しかもこの短完全系列はおよびMに関して自然である。さらにこの短完全系列は(Mに関して自然だがに関しては自然ではなく)分裂する[15]

上述の定理においてαに対し、というの元を対応させる写像である[15]


で各が有限生成加群である場合はコホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、は自由加群部分Fnと捩れ部分群部分の和で書ける。この事実とExtの性質を利用すると、以下がわかる:

命題 ― 上記の設定のもと以下が成立する[16]

上記により-係数コホモロジーさえ分かってしまえば、後はTorに関する普遍係数定理により他の係数のコホモロジーも求まる。

が有限生成であれば、上述の普遍係数定理でホモロジーとコホモロジーの役割を反転させた定理も成立する:

定理 ―  R単項イデアル整域とし、MR-加群とし、さらにR上のチェイン複体で各nに対し、R-加群として自由で、しかもが有限生成R-加群であるものとする。 このとき、

短完全系列となるαβが存在し、この短完全系列は分裂する[17]

上述の定理において、αに対し、というの元を対応させる写像である[17]


関連項目

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脚注

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出典

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  1. ^ a b #河田 pp.55-56.
  2. ^ a b #河田 p.69.
  3. ^ #河田 p.33.
  4. ^ a b #Dieck p.292.
  5. ^ #河田 p.114.
  6. ^ 河田 p.109.
  7. ^ a b #Davis p.26.
  8. ^ #河田 p.28.
  9. ^ a b #Dieck p.294.
  10. ^ a b #河田 p.118.
  11. ^ a b c #Dieck p.295.
  12. ^ a b #Dieck p.297.
  13. ^ a b #河田 p.80.
  14. ^ #Dieck p.297.
  15. ^ a b #Dieck p.296.
  16. ^ #Davis p.46.
  17. ^ a b #Davis p.48.

注釈

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  1. ^ a b 具体的にはMR上の生成元を選び、有限個のを除いてとし、とし、Bをこの写像のカーネルとすればよい。定義から明らかにAR上自由である。またRは単項イデアル整域なので、自由加群Aの部分加群であるBも自由である。
  2. ^ 最初の0を除いたは完全系列である[3]
  3. ^ 最後の0を除いたは完全系列である。[8]

参考文献

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  • 引用文献
    • Tammo tom Dieck (2008/9/15). Algebraic Topology. Ems Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society. ISBN 978-3037190487 
    • 河田敬義『ホモロジー代数』岩波書店〈岩波基礎数学選書〉、1990年11月8日。ISBN 978-4000078047 
    • James F. Davis, Paul Kirk (2001/8/1). Lecture Notes in Algebraic Topology. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society. ISBN 978-0821821602 

その他

外部リンク

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