極限の一覧

極限の一覧は、解析学における代表的な関数の極限の一覧である。極限に関しては極限の項を参照のこと。

以下で、xは変数、a、b、cは定数である。

一般的な極限の性質

{\mbox{If }}\lim _{x\to c}f(x)=L_{1}{\mbox{ and }}\lim _{x\to c}g(x)=L_{2}{\mbox{ then:}}

\lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}

\lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}

\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\qquad {\mbox{ if }}L_{2}\neq 0

\lim _{x\to c}\,f(x)^{n}=L_{1}^{n}\qquad {\mbox{ if }}n{\mbox{ is a positive integer}}

\lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L_{1}^{1 \over n}\qquad {\mbox{ if }}n{\mbox{ is a positive integer, and if }}n{\mbox{ is even, then }}L_{1}>0

\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\qquad {\mbox{ if }}\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\mbox{ or }}\lim _{x\to c}|g(x)|=+\infty

(ロピタルの定理)

単純な関数

\lim _{x\to c}a=a

\lim _{x\to c}x=c

\lim _{x\to c}(ax+b)=ac+b

\lim _{x\to c}x^{r}=c^{r}\qquad {\mbox{ if }}r{\mbox{ is a positive integer}}

\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x^{r}}}=+\infty

\lim _{x\to -0}{\frac {1}{x^{r}}}=\left\{{\begin{matrix}-\infty ,&{\mbox{if }}r{\mbox{ is odd}}\\+\infty ,&{\mbox{if }}r{\mbox{ is even}}\end{matrix}}\right.

対数関数と指数関数

\lim _{x\to +0}\log _{a}x={\begin{cases}-\infty ,&a>1\\\infty ,&a<1\end{cases}}

\lim _{x\to -\infty }a^{x}=0\qquad {\mbox{ if }}a>1

三角関数

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1

\lim _{x\to a}\sin x=\sin a

\lim _{x\to a}\cos x=\cos a

\lim _{x\to n\pm 0}\tan \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty \qquad {\mbox{ for any integer }}n

その他の諸関数

$\lim _{x\to \infty }{\frac {N}{x}}=0{\mbox{ for any real number }}N$
$\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{N}}={\begin{cases}\infty ,&N>0\\{\mbox{does not exist}},&N=0\\-\infty ,&N<0\end{cases}}$
$\lim _{x\to \infty }x^{N}={\begin{cases}\infty ,&N>0\\1,&N=0\\0,&N<0\end{cases}}$
$\lim _{x\to \infty }N^{x}={\begin{cases}\infty ,&N>1\\1,&N=1\\0,&N<1\end{cases}}$
$\lim _{x\to \infty }N^{-x}=\lim _{x\to \infty }1/N^{x}=0{\mbox{ for any }}N>1$
$\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{N}}={\begin{cases}1,&N>0\\0,&N=0\\{\mbox{does not exist}},&N<0\end{cases}}$
$\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{N}]{x}}=\infty {\mbox{ for any positive integer }}N$
$\lim _{x\to \infty }\log x=\infty$
$\lim _{x\to +0}\log x=-\infty$