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2020年1月25日 (土) 16:30時点における版

数理物理学において、カロロンとはインスタントンの有限温度への一般化である。

有限温度とインスタントン

絶対零度のユークリッド化された場の量子論において、時空に局在した古典解はインスタントンと呼ばれる。インスタントンは、ミンコフスキー時空では異なるトポロジカルな真空の間のトンネル効果を記述している。

インスタントンの重要な例として、ベラヴィン、ポリアコフ、シュワルツ、テュプキンによって1975年に発見されたBPSTインスタントンが知られている。BPSTインスタントンは（ユークリッド化された）4次元SU(2)ヤン＝ミルズ理論の古典運動方程式を満たす、トポロジカルに安定な解である。

有限温度の場の量子論は、ユークリッド時空における虚時間軸をコンパクト化することによって得られる（熱場の量子論）^[1]。このような時空の大局的な構造の変化に伴って、インスタントン解も絶対零度におけるそれとは異なったものになる。松原理論によれば、有限温度ではゲージ場に虚時間方向の周期境界条件が課されるため、インスタントン解もまた周期境界条件を満たすことになる。

SU(2)ヤンミルズ理論における例

BPST インスタントンの有限温度への一般化は、ハリントンとシェパードによって与えられた^[2]：

A_{\mu }^{a}(x)={\bar {\eta }}_{\mu \nu }^{a}\Pi (x)\partial _{\nu }\Pi ^{-1}(x)\quad {\text{with}}\quad \Pi (x)=1+{\frac {\pi \rho ^{2}T}{r}}{\frac {\sinh(2\pi rT)}{\cosh(2\pi rT)-\cos(2\pi \tau T)}}\ ,

ここに ${\bar {\eta }}_{\mu \nu }^{a}$ は反-'t Hooftシンボル、 r は x のカロロンからの距離、 ρ はカロロンの大きさ、 $\tau$ は虚時間、 T は温度を表す。この解は、トホーフト^[3] とウィッテン^[4]により示唆された周期的な多インスタントン解に基づいて発見された。

脚注

^ See Das (1997) for a derivation of this formalism.
^ Harrington, Barry (1978). “Periodic Euclidean Solutions and the Finite Temperature Yang–Mills Gas”. Physical Review D 17 (8): 2122. Bibcode: 1978PhRvD..17.2122H. doi:10.1103/PhysRevD.17.2122.
^ Shifman (1994:122)
^ Witten, Edward (1977). “Some Exact Multi-Instanton Solutions of Classical Yang–Mills Theory”. Physical Review Letters 38 (3): 121. Bibcode: 1977PhRvL..38..121W. doi:10.1103/PhysRevLett.38.121.

参考文献

Das, Ashok (1997). Finite Temperature Field Theory. World Scientific. ISBN 981-02-2856-2
Shifman (1994). Instantons in Gauge Theory. World Scientific. ISBN 981-02-1681-5
Dmitri Diakonov (2005). “SU(N) caloron measure and its relation to instantons”. Physical Review D 72 (2): 025003. arXiv:hep-th/0502132. Bibcode: 2005PhRvD..72b5003D. doi:10.1103/PhysRevD.72.025003.
Daniel Nogradi (2005). "Multi-calorons and their moduli". arXiv:hep-th/0511125。 {{cite arXiv}}: |author1=、|author=引数が重複しています。 (説明); |class=は無視されます。 (説明); |eprint=、|arxiv=引数が重複しています。 (説明)
Shnir (2006). "Self-dual and non-self dual axially symmetric caloron solutions in SU(2) Yang-Mills theory". arXiv:hep-th/0609019。 {{cite arXiv}}: |author1=、|author=引数が重複しています。 (説明); |class=は無視されます。 (説明); |eprint=、|arxiv=引数が重複しています。 (説明)
Philipp Gerhold (2007). “Improved superposition schemes for approximate multi-caloron configurations”. Nuclear Physics B 774: 268–297. arXiv:hep-ph/0610426. Bibcode: 2007NuPhB.774..268G. doi:10.1016/j.nuclphysb.2007.04.003.

[1] See Das (1997) for a derivation of this formalism.

[2] Harrington, Barry (1978). “Periodic Euclidean Solutions and the Finite Temperature Yang–Mills Gas”. Physical Review D 17 (8): 2122. Bibcode: 1978PhRvD..17.2122H. doi:10.1103/PhysRevD.17.2122.

[3] Shifman (1994:122)

[4] Witten, Edward (1977). “Some Exact Multi-Instanton Solutions of Classical Yang–Mills Theory”. Physical Review Letters 38 (3): 121. Bibcode: 1977PhRvL..38..121W. doi:10.1103/PhysRevLett.38.121.

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 == SU(2)ヤンミルズ理論における例 ==
-BPST インスタントンの有限温度への一般化は、ハリントンとシェパードによって与えられた<ref>{{Cite journal|last=Harrington|first=Barry|year=1978|title=Periodic Euclidean Solutions and the Finite Temperature Yang–Mills Gas|journal=[[Physical Review D]]|volume=17|issue=8|page=2122|bibcode=1978PhRvD..17.2122H|DOI=10.1103/PhysRevD.17.2122}}</ref>：
+BPST インスタントンの有限温度への一般化は、ハリントンとシェパードによって与えられた<ref>{{Cite journal|last=Harrington|first=Barry|year=1978|title=Periodic Euclidean Solutions and the Finite Temperature Yang–Mills Gas|journal=[[Physical Review D]]|volume=17|issue=8|page=2122|bibcode=1978PhRvD..17.2122H|doi=10.1103/PhysRevD.17.2122}}</ref>：
 :<math> A_\mu^a(x) = \bar\eta_{\mu\nu}^a \Pi(x) \partial_\nu \Pi^{-1}(x) \quad\text{with} \quad \Pi(x) = 1+\frac{\pi\rho^2T}r \frac{\sinh(2\pi rT)}{\cosh(2\pi rT)-\cos(2\pi \tau T)} \ ,</math>
-ここに <math>\bar\eta_{\mu\nu}^a</math> は反-'t Hooftシンボル、 ''r'' は ''x'' のカロロンからの距離、 ''ρ'' はカロロンの大きさ、 <math>\tau</math> は虚時間、 ''T'' は温度を表す。 この解は、[[トホーフト]]<ref>{{Harvcoltxt|Shifman|1994|p=122}}</ref> と[[ウィッテン]]<ref>{{Cite journal|last=Witten|first=Edward|author-link=Edward Witten|year=1977|title=Some Exact Multi-Instanton Solutions of Classical Yang–Mills Theory|journal=[[Physical Review Letters]]|volume=38|issue=3|pages=121|bibcode=1977PhRvL..38..121W|DOI=10.1103/PhysRevLett.38.121}}</ref>により示唆された周期的な多インスタントン解に基づいて発見された。
+ここに <math>\bar\eta_{\mu\nu}^a</math> は反-'t Hooftシンボル、 ''r'' は ''x'' のカロロンからの距離、 ''ρ'' はカロロンの大きさ、 <math>\tau</math> は虚時間、 ''T'' は温度を表す。 この解は、[[トホーフト]]<ref>{{Harvcoltxt|Shifman|1994|p=122}}</ref> と[[ウィッテン]]<ref>{{Cite journal|last=Witten|first=Edward|author-link=Edward Witten|year=1977|title=Some Exact Multi-Instanton Solutions of Classical Yang–Mills Theory|journal=[[Physical Review Letters]]|volume=38|issue=3|pages=121|bibcode=1977PhRvL..38..121W|doi=10.1103/PhysRevLett.38.121}}</ref>により示唆された周期的な多インスタントン解に基づいて発見された。
 == 脚注 ==
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 * {{Cite book|ref=harv|last=Das|first=Ashok|title=Finite Temperature Field Theory|year=1997|publisher=[[World Scientific]]|ISBN=981-02-2856-2}}
 * {{Cite book|ref=harv|last=Shifman|title=Instantons in Gauge Theory|year=1994|publisher=[[World Scientific]]|ISBN=981-02-1681-5}}
-* {{Cite journal|last=Dmitri Diakonov|year=2005|title=SU(N) caloron measure and its relation to instantons|journal=[[Physical Review D]]|volume=72|issue=2|pages=025003|arxiv=hep-th/0502132|bibcode=2005PhRvD..72b5003D|DOI=10.1103/PhysRevD.72.025003}}
+* {{Cite journal|last=Dmitri Diakonov|year=2005|title=SU(N) caloron measure and its relation to instantons|journal=[[Physical Review D]]|volume=72|issue=2|pages=025003|arxiv=hep-th/0502132|bibcode=2005PhRvD..72b5003D|doi=10.1103/PhysRevD.72.025003}}
 * {{Cite arXiv|title=Multi-calorons and their moduli|author1=Daniel Nogradi|author=Daniel Nogradi|year=2005|eprint=hep-th/0511125|arxiv=hep-th/0511125|class=hep-th}}
 * {{Cite arXiv|title=Self-dual and non-self dual axially symmetric caloron solutions in SU(2) Yang-Mills theory|author1=Shnir|author=Shnir|year=2006|eprint=hep-th/0609019|arxiv=hep-th/0609019|class=hep-th}}
-* {{Cite journal|last=Philipp Gerhold|year=2007|title=Improved superposition schemes for approximate multi-caloron configurations|journal=[[Nuclear Physics B]]|volume=774|pages=268–297|arxiv=hep-ph/0610426|bibcode=2007NuPhB.774..268G|DOI=10.1016/j.nuclphysb.2007.04.003}}
+* {{Cite journal|last=Philipp Gerhold|year=2007|title=Improved superposition schemes for approximate multi-caloron configurations|journal=[[Nuclear Physics B]]|volume=774|pages=268–297|arxiv=hep-ph/0610426|bibcode=2007NuPhB.774..268G|doi=10.1016/j.nuclphysb.2007.04.003}}
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