ゴールマハティヒ予想

ゴールマハティヒ予想（英語: Goormaghtigh conjecture）とは、整数論における予想のひとつ。ベルギーの数学者、ルネ・ゴールマハティヒ (René Goormaghtigh) に由来する。この予想は、次の指数型ディオファントス方程式

${\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {y^{n}-1}{y-1}}$

の非自明な（x > y > 1 かつ m, n > 2 を満たす）整数解は次の2つに限るということを主張する。

• (x, y, m, n) = (5, 2, 3, 5)
• (x, y, m, n) = (90, 2, 3, 13)

別の表現としては、2個以上の基数において3桁以上のレピュニットとして表される自然数は31（(11111)₂=(111)₅）と8191（(1111111111111)₂=(111)₉₀）に限るということを意味する。

現在までの主な進歩

• （Davenport, Lewis & Schinzel (1961)）m, nを固定するごとに、この方程式は高々有限個の解しか持たない。ただしこの証明は整数点についてのジーゲルの定理（これは「effective」ではない）に基づいている。
• （Nesterenko & Shorey (1998)）d ≥ 2, r ≥ 1, s ≥ 1 なる d, r, s を用いて m − 1 = dr, n − 1 = ds と表されるとき、max(x, y, m, n) の値は r, s にのみ依存して実効的に計算可能な定数によって上から押さえられる。
• （Yuan (2005)）この方程式が解を持つための必要条件は、m = 3 かつ n が奇数であることである。
• （He & Togbé (2008)）x, y を固定するごとに、この方程式は高々1個の解しか持たない。

関連項目

• レピュニット
• メルセンヌ素数
• ファイト＝トンプソン予想

参考文献

• Goormaghtigh, Rene. L’Intermédiaire des Mathématiciens 24 (1917), 88
• Bugeaud, Y.; Shorey, T.N. (2002). “On the diophantine equation (x^m - 1)/(x-1) = (y^n - 1)/(y-1)”. Pacific Journal of Mathematics 207 (1): 61–75. http://msp.org/pjm/2002/207-1/pjm-v207-n1-p04-s.pdf. 
• Davenport, H.; Lewis, D. J.; Schinzel, A. (1961). “Equations of the form f(x)=g(y)”. Quad. J. Math. Oxford 2: 304–312. doi:10.1093/qmath/12.1.304. MR0137703. 
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.). Springer-Verlag. p. 242. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001 
• He, Bo; Togbé, Alan (2008). “On the number of solutions of Goormaghtigh equation for given x and y”. Indag. Math. N. S. 19: 65–72. doi:10.1016/S0019-3577(08)80015-8. MR2466394. 
• Nesterenko, Yu. V.; Shorey, T. N. (1998). “On an equation of Goormaghtigh” (PDF). Acta Arithmetica LXXXIII (4): 381–389. doi:10.4064/aa-83-4-381-389. MR1610565. Zbl 0896.11010. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa83/aa8345.pdf. 
• Shorey, T.N.; Tijdeman, R. (1986). Exponential Diophantine equations. Cambridge Tracts in Mathematics. 87. Cambridge University Press. pp. 203–204. ISBN 0-521-26826-5. Zbl 0606.10011 
• Yuan, Pingzhi (2005). “On the diophantine equation ${\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {y^{n}-1}{y-1}}$”. J. Number Theory 112: 20–25. doi:10.1016/j.jnt.2004.12.002. MR2131139.