「チェビシェフの偏り」の版間の差分
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* P.L. Chebyshev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4''n'' + 1 et 4''n'' + 3, ''Bull. Classe Phys. Acad. Imp. Sci. St. Petersburg'', '''11''' (1853), 208. |
* P.L. Chebyshev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4''n'' + 1 et 4''n'' + 3, ''Bull. Classe Phys. Acad. Imp. Sci. St. Petersburg'', '''11''' (1853), 208. |
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* J. Kaczorowski: On the distribution of primes (mod 4), ''Analysis'', '''15''' (1995), 159–171. |
* J. Kaczorowski: On the distribution of primes (mod 4), ''Analysis'', '''15''' (1995), 159–171. |
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* S. Knapowski, Turan: Comparative prime number theory,I, ''Acta Math. Acad. Sci. Hung.'', '''13''' (1962), 299–314. |
* S. Knapowski, Turan: Comparative prime number theory,I, ''Acta Math. Acad. Sci. Hung.'', '''13''' (1962), 299–314. |
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2020年1月25日 (土) 17:47時点における版
チェビシェフの偏りとは、あるNまでの素数には、4k + 1の形をした素数（ピタゴラス素数）が4k + 3の形をした素数（非ピタゴラス素数）より多い現象である。1853年にパフヌティ・チェビシェフによって最初に発見された。
詳細
いま π(x; 4, 1) を、x までの 4k+1 形の素数の個数、 π(x; 4, 3) を、x までの 4k + 3 形の素数の個数とする。そのとき算術級数の素数定理より、
であるから、素数の半分は4k + 1の形であり、残りの半分は4k + 3の形である。すると、π(x; 4, 1)>π(x; 4, 3) となるｘも π(x; 4, 1)<π(x; 4, 3) となるｘもそれぞれ50％ずつ存在するであろうと推測できるが、実際には π(x; 4, 3)>π(x; 4, 1) となる区間が（少なくとも小さな x に対しては）はるかに長く、ｘが5, 17, 41, 461において π(x; 4, 3)=π(x; 4, 1) となる4個を除いた26833未満の素数ｘに対しては π(x; 4, 3)>π(x; 4, 1) が成立し続ける。
いま 0 < a, b < q かつ (a, q) = (b, q) = 1となる整数に対して、aが平方剰余、bが平方非剰余である場合には、π(x; q, b) > π(x; q, a) となる区間の方がより長いことが一般に言える。これは、強いリーマン仮説が成立する仮定の下では証明される。しかし、「π(x; 4, 3)>π(x; 4, 1) が成り立つ x の稠密度は1である」というKnapowskiとTuránの予想は否定された。一方、それらの対数密度（logarithmic density）は約0.9959である[1]。
関連項目
- Shanks–Rényi race problem
参考文献
- ^ (Rubinstein—Sarnak, 1994)
- P.L. Chebyshev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4n + 1 et 4n + 3, Bull. Classe Phys. Acad. Imp. Sci. St. Petersburg, 11 (1853), 208.
- Granville, Andrew; Martin, Greg (2006). “Prime number races”. Amer. Math. Monthly 113: 1–33. JSTOR 27641834.
- J. Kaczorowski: On the distribution of primes (mod 4), Analysis, 15 (1995), 159–171.
- S. Knapowski, Turan: Comparative prime number theory,I, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 13 (1962), 299–314.
- Rubinstein, M.; Sarnak, P. (1994). “Chebyshev's bias”. Experimental Mathematics 3: 173–197. doi:10.1080/10586458.1994.10504289.
- Weisstein, Eric W. "Chebyshev Bias". mathworld.wolfram.com (英語).
- (sequence オンライン整数列大辞典の数列 A007350 (where prime race 4n-1 versus 4n+1 changes leader)