タイル張り

平面充填（へいめんじゅうてん）とは、平面内を有限種類の平面図形（タイル）で隙間なく敷き詰める操作である。敷き詰めたタイルからなる平面全体を平面充填形という。

平面敷き詰め、タイル貼り、タイリング (tiling) 、テセレーション (tessellation) ともいう。ただし「平面」を明言しない場合は、曲面充填や、場合によっては2次元以外の空間の充填を含む。広義のテセレーション等については、空間充填を参照。平面充填は広義の空間充填の一種で、2次元ユークリッド空間の充填である。

多面体は多角形による球面充填（曲面充填の一種）と考えることができる。そのため、多角形による平面充填は多面体と共通点が多く、便宜上多面体に含めて論じられることもある。

1種類のタイルによる平面充填

正多角形

1種類で平面を充填できる正多角形は、正三角形、正方形、正六角形の3種類のみであり、ピュタゴラスによって証明された。これらは正平面充填形 (Regular Tessellation) とも呼ばれる。

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  正三角形による平面充填
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  正方形による平面充填
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  正六角形による平面充填

正三角形、正方形については、図の充填のほかに、頂点をずらした充填も可能である。ただし、隣のタイルの頂点と接する辺を、2辺が内角180°で接していると考えれば、これらは実際は、後述する、一般の四角形、平行六角形による充填の特殊ケースとなる。

1種類の正多角形による（頂点をずらさない）平面充填は、正多角形同様、シュレーフリ記号 {p, q} （正 p 角形が q 個頂点に集まる）で表せる。

• 正三角形 {3, 6}
• 正方形 {4, 4}
• 正六角形 {6, 3}

正 p 角形の内角を q 倍すると 360° になることから、

$(p-2)q=2p$

である。これから、1種類の正多角形による充填がこの3つしか存在しないことが証明できる。

平行四辺形・任意の三角形

全ての平行四辺形は、1種類で平面充填可能である。また、全ての三角形は、合同なものを2つ組み合わせることで平行四辺形となる。従って、全ての三角形は平面充填可能である。

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平行六辺形・任意の四角形

全ての合同な平行六辺形（3組の対辺が平行で等しい六角形）は平面敷き詰め可能である。また、全ての四角形は、合同なものを二つ組み合わせることで平行六辺形となる。従って、全ての四角形は平面敷き詰め可能である。

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平行六辺形は、中心を通る直線で合同な2つの五角形に分けられる。このような五角形は平面敷き詰め可能である。

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これらの変形

平面充填形に対して、対応する場所に凹凸をつけた場合も敷き詰め可能。

正方形の例：

平行六辺形の例：

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多角形

五角形の平面充填は、2015年に新しいパターンが発見され全部で15個となった。（これ以上存在しないことは既に証明されている）

2015年、15番目の五角形による平面充填が発見された。

アルキメデスの平面充填の双対

#双対充填を参照。

複数種類のタイルによる平面充填

正多角形

一種類の場合と同じように、正多角形のみでできていて、頂点形状が一様なアルキメデスの平面充填と呼ばれる平面充填が8種類あり、半正多面体の一種とされることもある。括弧中は頂点形状（各頂点に集まる正多角形の種類と順序）を表す。

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  正三角形4枚、正六角形1枚 (3, 3, 3, 3, 6)
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  正三角形3枚、正方形2枚 (3, 3, 3, 4, 4)
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  正三角形3枚、正方形2枚 (3, 3, 4, 3, 4)
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  正三角形1枚、正方形2枚、正六角形1枚 (3, 4, 6, 4)
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  正三角形2枚、正六角形2枚 (3, 6, 3, 6)
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  正三角形1枚、正十二角形2枚 (3, 12, 12)
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  正方形1枚、正六角形1枚、正十二角形1枚 (4, 6, 12)
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  正方形1枚、正八角形2枚 (4, 8, 8)

ペンローズ・タイル

ペンローズ・タイル、#非周期充填を参照。

充填の双対

多角形（特に正多角形）による平面充填には、多面体に対する双対多面体のように、双対を考えることが可能である。

1種類の正多角形による平面充填の双対は次のとおり。シュレーフリ記号の数値が入れ替わっている。

• 正方形 {4, 4} ⇔ 正方形 {4, 4}
• 正三角形 {3, 6} ⇔ 正六角形 {6, 3}

アルキメデスの平面充填の双対は、1種類の（鏡像は同じと考える）多角形による充填となる。

特殊な充填

ペンローズタイル。有名な非周期充填。

Voderbergタイル。有名な螺旋充填。

非周期充填

周期的なパターンによる充填以外に、非周期な充填も可能である。ただし、周期充填の非周期な変形による充填（場所によってランダムな方法でタイルを分割するなど）は、非周期とは考えない。

最初の非周期充填は、1966年に発見された、20426種類のタイルを使う充填である。

現在最もタイルの種類が少ない非周期充填は、Socolar–Taylor tileと呼ばれる一種類の非連結なタイルによるものである。連結な1種類のタイルによる非周期充填は発見されておらず、連結なものに限ればイギリスの物理学者ロジャー・ペンローズが考案した、2種の菱形タイル「ペンローズ・タイル」によるものが最小である。

ちなみに高次元では1種類のブロックによる3次元空間の非周期充填が1993年に発見されている。

中心のある充填

以上は、平面のあらゆる部分が同等な充填であったが、そうでない充填もある。平面上に中心を定め、そこから放射状にタイルを敷き詰める放射充填 (radial tiling) や、螺旋状にタイルを敷き詰める螺旋充填 (spiral tiling) である。

放射充填は、中心を通る放射状の直線で平面を楔形に分割し、そのそれぞれを三角形タイルで充填したものの変形である。直線の1つについて、その両側をタイル1つ分だけずらせば、螺旋充填となる。一見、複雑に見えるが、回転対称性などの対称性を持つ周期充填である。

関連項目

• ルジンの問題 - 「任意の正方形を、全て異なる大きさの正方形に分割できるか」という問題
• 模様
• 空間充填
• 球充填
• マウリッツ・エッシャー
• テッセレーション