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「普遍包絡代数」の版間の差分

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{{出典の明記|date=2014年5月}}
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('''普遍''')'''包絡代数'''(ふへんほうらくだいすう、{{lang-en-short|universal enveloping algebra}}, {{lang-fr-short|algèbre enveloppante}})あるいは('''普遍''')'''展開代数'''とは、任意[[リー代数]] <math>\mathfrak{g}</math> から構成されるある性質たす単位的[[結合多元環|結合代数]] <math>U(\mathfrak{g})</math> 準同型写像 <math>i\colon\mathfrak{g}\to U(\mathfrak{g})</math> 組 <math>(U(\mathfrak{g}), i)</math> のことをいう
('''普遍''')'''包絡代数'''(フヘンホウラクダイスウ、{{lang-en-short|universal enveloping algebra}}, {{lang-fr-short|algèbre enveloppante}})アルイハ('''普遍''')'''展開代数'''トハ、任意[[リー代数|りぃ代数]] <math>\mathfrak{g}</math> から構成サレルアル性質タス単位的[[結合多元環|結合代数]] <math>U(\mathfrak{g})</math> 準同型写像 <math>i\colon\mathfrak{g}\to U(\mathfrak{g})</math> 組 <math>(U(\mathfrak{g}), i)</math> ノコトヲイウ


== 定義 ==
== 定義 ==
<math>\mathfrak{g}</math> 任意[[リー代数]]とするこのとき以下普遍性質たす[[結合多元環|結合代数]] ''A'' とリー代数準同型写像 <math>i: \mathfrak{g} \to A</math> 組 <math>(A, i)</math> 存在する(''A'' 交換子積によってリー代数とみる)。任意結合代数 <math>A'</math> とリー代数準同型写像 <math>i'\colon \mathfrak{g} \to A'</math> 、結合代数準同型写像 <math>f\colon A \to A'</math> 、<math>f \circ i=i'</math> たすものが唯一存在するこのような <math>(A, i)</math> 同型いて一意的存在、'''普遍包絡代数'''といい、''A'' <math>U(\mathfrak{g})</math> :
<math>\mathfrak{g}</math> 任意[[リー代数|りぃ代数]]トスルコノトキ以下普遍性質タス[[結合多元環|結合代数]] ''A'' トりぃ代数準同型写像 <math>i: \mathfrak{g} \to A</math> 組 <math>(A, i)</math> 存在スル(''A'' 交換子積ニヨツテりぃ代数トミル)。任意結合代数 <math>A'</math> トりぃ代数準同型写像 <math>i'\colon \mathfrak{g} \to A'</math> 、結合代数準同型写像 <math>f\colon A \to A'</math> 、<math>f \circ i=i'</math> タスモノガ唯一存在スルコノヨウナ <math>(A, i)</math> 同型イテ一意的存在、'''普遍包絡代数'''トイイ、''A'' <math>U(\mathfrak{g})</math> :


== 構成 ==
== 構成 ==
<math>\mathfrak{g}</math> [[リー代数]]、<math>T(\mathfrak{g})</math> をそのベクトル空間としての[[テンソル代数]]とするまた、<math>\mathcal{I}</math> <math>x \otimes y - y \otimes x - [x, y]\quad(x, y \in \mathfrak{g})</math> 生成する両側[[イデアル]]とするこれによって
<math>\mathfrak{g}</math> [[リー代数|りぃ代数]]、<math>T(\mathfrak{g})</math> ヲソノべくとる空間トシテノ[[テンソル代数|てんそる代数]]トスルマタ、<math>\mathcal{I}</math> <math>x \otimes y - y \otimes x - [x, y]\quad(x, y \in \mathfrak{g})</math> 生成スル両側[[イデアル|いである]]トスルコレニヨツテ
:<math>U(\mathfrak{g})=T(\mathfrak{g})/\mathcal{I}</math>
:<math>U(\mathfrak{g})=T(\mathfrak{g})/\mathcal{I}</math>
とする。自然写像 <math>T(\mathfrak{g}) \to U(\mathfrak{g})</math> <math>\mathfrak{g}</math> 制限して <math>i\colon \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g})</math> まり、<math>(U(\mathfrak{g}), i)</math> 普遍包絡代数になる
トスル。自然写像 <math>T(\mathfrak{g}) \to U(\mathfrak{g})</math> <math>\mathfrak{g}</math> 制限シテ <math>i\colon \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g})</math> マリ、<math>(U(\mathfrak{g}), i)</math> 普遍包絡代数ニナル


==関連項目==
==関連項目==
*{{仮リンク|Poincaré–Birkhoff–Witt定理|en|Poincaré–Birkhoff–Witt theorem}}
*{{仮リンク|Poincaré–Birkhoff–Witt定理|en|Poincaré–Birkhoff–Witt theorem}}


==脚注==
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== 外部リンク ==
== 外部りんく ==
* {{nlab|urlname=universal+enveloping+algebra|title=universal enveloping algebra}}
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* {{PlanetMath|urlname=UniversalEnvelopingAlgebra|title=universal enveloping algebra}}
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2021年5月5日 (水) 05:07時点における版

普遍包絡代数(フヘンホウラクダイスウ、: universal enveloping algebra, : algèbre enveloppante)アルイハ(普遍展開代数トハ、任意ノりぃ代数 から構成サレル、アル性質ヲ満タス単位的結合代数 ト準同型写像 ノ組 ノコトヲイウ。

定義

ヲ任意ノりぃ代数トスル。コノトキ以下ノ普遍性質ヲ満タス結合代数 A トりぃ代数ノ準同型写像 ノ組 ガ存在スル(A ハ交換子積ニヨツテりぃ代数トミル)。任意ノ結合代数 トりぃ代数準同型写像 ニ対シ、結合代数ノ準同型写像 デ、 ヲ満タスモノガ唯一ツ存在スル。コノヨウナ ハ同型ヲ除イテ一意的ニ存在シ、普遍包絡代数トイイ、A デ表ス:

構成

りぃ代数 ヲソノべくとる空間トシテノてんそる代数トスル。マタ、 ガ生成スル両側いであるトスル。コレニヨツテ

トスル。自然ナ写像 ニ制限シテ ガ定マリ、 ハ普遍包絡代数ニナル。

関連項目

脚注

参考文献

  • Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. 9. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90053-7 

外部りんく