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数学 > 空間・収束 > 位相空間 ウィキブックスに位相空間論関連の解説書・教科書があります。 数学における位相空間（いそうくうかん、英語: topological space）とは、集合Xに位相（topology）と呼ばれる構造を付け加えたもので、この構造はX上に収束性の概念を定義するのに必要十分なものである。…

X を位相空間とし、"~" を X 上の同値関係とする。~ に関する同値類全体の成す商集合 X/~ 上に位相を以下のように定める。つまり、X/~ に属する同値類からなる X/~ の部分集合が開集合であることを、（それら同値類を X の部分集合と見ての）その和集合が X…

数学 > 位相空間 > コンパクト空間 位相空間がコンパクト（英: compact, /kəmˈpækt/）であるとは、後述する所定の性質を満たす「性質の良い」空間であり、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上の有界閉集合の性質を抽象化したもの。…

位相幾何学とその周辺において、直積空間（ちょくせきくうかん、英: product space）とは位相空間の族の直積に直積位相 (product topology) と呼ばれる自然な位相（英語版）を入れた空間のことである。この位相は他の、もしかするとより明らかな、箱位相（英語版）と呼ばれる位相…

を決定することもできなければならないが、これはベクトル空傍間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相空間を備えており、それによって近傍や連続といったことを考えることができる。こういた線型位相空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。…

空間が位相空間としてコンパクトであることが導かれる。この距離空間のコンパクト性は距離空間が全有界かつ完備であることと同値になる。さらに距離空間が可分である（稠密な可算部分集合を持つ）ことと第二可算公理を満たす（可算個の開集合によってその位相が生成される）ことは同値になる。 X を距離空間、Uを X×X…

数学の位相空間論における開集合（かいしゅうごう、英: open set）は、実数直線における開区間の概念を一般化する概念である。もっとも簡単な例は距離空間における場合で、そこでは開集合の概念は、各点を中心とする球体を含むような部分集合と一致する。しかし、一般には開集合は非常に抽象的なもので、「開集…

一般位相において位相空間 X の部分集合 S の境界（きょうかい、英語: boundary, frontier）とは、S の中からも外からも近づくことのできる点の全体の成す X の部分集合のことである。もうすこし形式的に言えば、S の触点（閉包に属する点）のうち、S の内点（開核に属する点）ではないものの全体の成す集合のことである。S…

数学における位相群（いそうぐん、英: topological group）は、位相の定められた群であって、そのすべての群演算が与えられた位相に関して連続となるという意味において代数構造と位相構造が両立する。したがって位相群に関して、群としての代数的操作を行ったり、位相空間…

Lp-空間と呼ばれるルベーグ可積分函数の空間、ハーディ空間と呼ばれる正則函数の空間などはバナッハ空間を成す。これらはもっとも広く用いられる位相線型空間であり、これらの位相はノルムから規定されるものになっている。 バナッハ空間の名称は、この概念を…

数学の位相空間論周辺分野において、考えたい種類の位相空間を割り出すための様々な制約条件が知られている。そういった制約のうちのいくつかが分離公理（ぶんりこうり、英: separation axioms）と呼ばれる条件によって与えられる。アンドレイ・チホノフ（英語版）に因んで、チホノフの分離公理とも呼ばれる。…

continuity）とは、点の集合が切れていないことを表す概念である。それの厳密な定義は極限によって定式化される。数学における連続の概念は、位相空間の間の写像に対して拡張され、開集合などといった位相的な概念を一定の方法で保つという条件によって連続性の概念が定められる。これは異なる位相空間の間の関係を表す最も基本的な枠組みである。…

を展開するために必要な構造を備えた空間のことである（ただし位相多様体においてはその限りではない。ただ、単に多様体と言った場合、可微分多様体か複素多様体のことを指す場合が多い）。それは局所的にユークリッド空間と見なせるような図形や空間（位相空間…

位相構造などの概念として公理化され、その帰結が研究される。特に、様々な代数的構造の性質を研究する抽象代数学は20世紀に大きく発展した。現代数学で取り扱われる構造は上のような基本的な構造にとどまらず、異なった種類の構造を併せて考える線型位相空間や双曲群などさまざまなものがある。 空間 空間…

数学において、パラコンパクト空間 (paracompact space) はすべての開被覆が局所有限（英語版）な開細分を持つような位相空間である。これらの空間は Dieudonné (1944) によって導入された。すべてのコンパクト空間はパラコンパクトである。すべてのパラコンパクトハウスドルフ空間…

を持つ任意の空間 X を考えたとき、X に同相な位相空間は何れも必ずその性質を持っていることが言えるということを意味する。形式ばらずに言えば、位相的性質は、空間の開集合の言葉で書けるような位相空間の性質のことと思ってよい。 位相幾何学においてよくある問題の一つに、ふたつの空間が同相か否かを…

projection)とは、位相空間 C から X への連続全射 p のうち、 X の各点が p により「均一に被覆される」開近傍をもつものをいう。厳密な定義は追って与える。このとき C を被覆空間(covering space)、X を底空間(base space)と呼ぶ。この定義は、すべての被覆写像は局所同相であることを意味する。…

を言い換えれば、[a, b] 上の多項式函数全体の成す集合は、複素数値連続函数全体の成す集合 C([a, b]; ℂ) の部分集合として稠密である（位相は上限ノルムの誘導する位相）。 任意の距離空間はその完備化の中で稠密である。 任意の位相空間は自身の部分集合として稠密である。集合 X に離散位相を入れたものは、全体集合…

空間は位相空間でもある。アフィン空間は非コンパクトな位相多様体であり、射影空間はコンパクトな位相多様体である。 二点間の距離は距離空間において定義される。任意の距離空間は位相空間でもある。有界集合やコーシー列は（単に位相空間であるというだけではダメで）距離空間において定義される概念である。距離空間…

数学において、位相空間 X が局所コンパクト（きょくしょコンパクト、英: locally compact）というのは、雑に言って、X の各点の近傍ではコンパクトであるという性質をもつことである。位相空間がコンパクトであるための条件は非常に厳しく、コンパクトな空間が数学において特殊な位置を…