| この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方) 出典検索?: "直交関数列" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2015年6月) |
数学において直交関数列(ちょっこうかんすうれつ、英: orthogonal functions)とは互いに直交する関数列の事である。
区間 (α, β) (−∞ ≤ α < β ≤ ∞) 上で定義された複素数値関数 f(x), g(x) に対し
![{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g^{\ast }(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c714553b0219554f182d788884cb1107d95e46d)
は、積分が有限値として存在するならば、内積となる。
(α, β) 上の複素値関数の列 {φn(x)} が、この内積に対し、互いに直交し、
![{\displaystyle \langle \phi _{m},\phi _{n}\rangle =\int _{\alpha }^{\beta }\phi _{m}(x)\phi _{n}^{\ast }(x)\,dx=0\quad (m\neq n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f46656e050fac705b53b2980a09ded7faaa6010b)
であるとき、直交関数列であるという。
特に直交関数列のうち、ノルムが 1、すなわち
![{\displaystyle \|\phi \|^{2}=\int _{\alpha }^{\beta }|\phi _{n}(x)|^{2}\,dx=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b99d31fb81f59e6dc95041459430bb4e9b081c7b)
であるものものを正規直交関数列という。
また、実数値関数の列 {φn(x )} とある関数 w(x) ≥ 0 に対し、{(w(x))1/2φn(x)} が直交関数列をなし、
![{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }\phi _{m}(x)\phi _{n}(x)w(x)\,dx=0\quad (m\neq n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce466af5120f67e0f472980f0bf46f8d31f04312)
であるとき、この関数列を重み(荷重)w(x) の直交関数列という。
三角関数形[編集]
- 余弦関数系
1と余弦関数による列{1, cosx, cos2x, cos3x,…}は区間 [0, π] で直交関数系を成す。
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }1\,dx=\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb3522e0a925d2f28954c11a56771e393084726)
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }1\cdot \cos {nx}\,dx=0\quad (n=1,2,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa270c0d5f30ff463163f10eb79f6d638e0d599)
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos {mx}\cdot \cos {nx}\,dx={\frac {\pi }{2}}\delta _{mn}\quad (m,n=1,2,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb8a6f48e4cc0a06f6f505ba90024810ef1d272)
- 正弦関数系
正弦関数による列 {sinx, sin2x, sin3x,…} は区間 [0, π] で直交関数系を成す。
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin {mx}\cdot \sin {nx}\,dx={\frac {\pi }{2}}\delta _{mn}\quad (m,n=1,2,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c92bcce3ff6fe8e2010463ac164c320a3db1da0)
- 三角関数系
{1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…} は [-π, π] で直交関数系を成す。
![{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }1\,dx=2\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd2311a20181e061a1f89cfc8e3dd47f9c10c45)
![{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos {mx}\cdot \cos {nx}\,dx=\int _{-\pi }^{\pi }\sin {mx}\cdot \sin {nx}\,dx=\pi \delta _{mn}\quad (m,n=1,2,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f92fcfd8d39a2ca5c517098ac2099d30b217ca2)
![{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }1\cdot \cos {nx}\,dx=\int _{-\pi }^{\pi }1\cdot \sin {nx}\,dx=0\quad (n=1,2,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5118d24c724a4fe9917b1c8ea7c89c55098b389c)
![{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos {mx}\cdot \sin {nx}\,dx=0\quad (m,n=1,2,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401e8f0336263f8f4f42ef74bb87810778d4965e)
直交多項式[編集]
エルミート多項式[編集]
関係式
で定義されるエルミート多項式は区間 (−∞, ∞) 上の重み e−x2/2 の直交関数系であり、
を満たす。
ルジャンドル多項式[編集]
関係式
で定義されるルジャンドル多項式は区間 [−1, 1] 上の直交関数系であり、
を満たす。
ラゲール多項式[編集]
関係式
で定義されるラゲール多項式は区間 [0, ∞) 上の重み e−x の直交関数系を成し、
を満たす。
チェビシェフ多項式[編集]
関係式
で定義されるチェビシェフ多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x2)−1/2 の直交関数系を成し、
を満たす。
ゲーゲンバウアー多項式[編集]
関係式
で定義されるゲーゲンバウアー多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x2)α − 1/2 の直交関数系を成し、
を満たす。
完備関数列[編集]
直交関数列で、
![{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(x)e_{n}(x)dx=0\quad (n=1,2,\dots )\quad \Longrightarrow \quad f(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcbe755392d96ca4d10941756e3baa02caecd133)
となるもののことを言う。
(三角関数列)
関連項目[編集]