閉凸函数

数学において、函数 $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ が閉（へい、英: closed）であるとは、各 $\alpha \in \mathbb {R}$ に対して劣位集合 $\{x\in \operatorname {dom} f\mid f(x)\leq \alpha \}$ が閉集合であることをいう。

また同値であるが、$\operatorname {epi} f=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid x\in \operatorname {dom} f,\;f(x)\leq t\}$ で定義されるエピグラフが閉であるとき、函数 $f(x)$ は閉となる。

この定義はすべての函数に対して適用されるものであるが、ほとんどは凸函数に対して使われている。真凸函数が閉であるための必要十分条件は、それが下半連続であることである。真凸函数ではない凸函数に対して、函数の「閉包」とは定義の上で異なる点がある。

性質

• $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ が連続で、集合 $\operatorname {dom} f$ が閉なら、函数 $f$ も閉である。

• 閉真凸函数 f は、h ≤ f を満たすすべてのアフィン函数 h（f のアフィン劣函数と呼ばれる）の集合の各点毎の上限である。

参考文献

• Boyd, Lieven Vandenberghe and Stephen (2004). Convex optimization. New York: Cambridge. pp. 639-640. ISBN 978-0521833783. https://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf 
• Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01586-6