正則素数

数論における正則素数（せいそくそすう、regular prime）とは、円の p 分体の類数を割り切らない素数 p のことであり、エルンスト・クンマーにより考案された。

正則素数

小さいものから順に

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …（オンライン整数列大辞典の数列 A7703）

と続く。 クンマーは、奇素数の正則性は p が k =2,4,6,…, p − 3 におけるベルヌーイ数の分子を割り切らないことと等価であることを示した。また、次数が正則素数である場合にフェルマーの最終定理が正しいことを証明した。

正則素数は無限に存在すると予想されている。より正確には、e^−1/2 、つまり約 61% の素数が正則であると予想されている (Siegel, 1964)。どちらの予想も、2009 年現在まだ証明されていない。

非正則素数

正則でない奇素数は非正則素数と呼ばれ、小さいものから順に

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, ...(A928)

と続く。分子が p で割り切れるようなベルヌーイ数 B_k の個数は p の非正則指数と呼ばれる。K. L. ジェンセンは、1915年、非正則素数が無限に存在することを示した。

参考文献

• Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section D2.
• Carl Ludwig Siegel, Zu zwei Bemerkungen Kummers. Nachr. Akad. d. Wiss. Goettingen, Math. Phys. K1., II, 1964, 51-62.

関連項目

• w:Herbrand–Ribet theorem

外部リンク

• Chris Caldwell, The Prime Glossary: regular prime（英語）