DFP法

Davidon–Fletcher–Powell法（ダビドン＝フレッチャー＝パウエル法）またはDFP法とは、あるセカント方程式を満たす解のうち、現在の推定値に最も近く、曲率条件を満たす解を与える式（DFP公式）を用いる準ニュートン法である。名称はウィリアム・ダビドン、ロジャー・フレッチャー、マイケル・パウエルに因む。セカント法を多次元問題に一般化したものであり、準ニュートン法としては初めての解法だった。この公式によりヘッセ行列を更新すれば、対称性と正定性が保証される。

所与の関数$f(x)$ のテイラー展開は、その勾配( $\nabla f$ )、正定値ヘッセ行列$B$ 、を用いて以下のように書ける。

$f(x_{k}+s_{k})=f(x_{k})+\nabla f(x_{k})^{T}s_{k}+{\frac {1}{2}}s_{k}^{T}{B}s_{k}+\dots ,$

また、勾配自体のテイラー展開（セカント方程式）は以下のように書ける。

$\nabla f(x_{k}+s_{k})=\nabla f(x_{k})+Bs_{k}+\dots$

これを$B$の更新に用いる。

下に示すDFP公式は、対称かつ正定値であり、現在の近似値$B_{k}$に最も近い解を与える。

$B_{k+1}=(I-\gamma _{k}y_{k}s_{k}^{T})B_{k}(I-\gamma _{k}s_{k}y_{k}^{T})+\gamma _{k}y_{k}y_{k}^{T},$

ここで、

$y_{k}=\nabla f(x_{k}+s_{k})-\nabla f(x_{k})$

$\gamma _{k}={\frac {1}{y_{k}^{T}s_{k}}}$

とし、$B_{k}$は対称正定値行列とした。

対応する逆ヘッセ行列$H_{k}=B_{k}^{-1}$の近似値は、以下の式により与えられる。

$H_{k+1}=H_{k}-{\frac {H_{k}y_{k}y_{k}^{T}H_{k}}{y_{k}^{T}H_{k}y_{k}}}+{\frac {s_{k}s_{k}^{T}}{y_{k}^{T}s_{k}}}.$

$B$は正定値行列と仮定されるため、$s_{k}^{T}$と$y$は以下の曲率条件を満たす必要がある。

$s_{k}^{T}y_{k}=s_{k}^{T}Bs_{k}>0$

DFP法は非常に効果的だったものの、すぐにその双対である（yとsの役割が入れ替わっている）BFGS法に置き換えられた。

関連項目

• ニュートン法
• 最適化におけるニュートン法
• 準ニュートン法
• BFGS法
• LBFGS法
• SR1法
• ネルダー・ミード法

参考文献

• Davidon, W. C. (1959). “Variable Metric Method for Minimization”. AEC Research and Development Report ANL-5990. doi:10.2172/4252678. https://digital.library.unt.edu/ark:/67531/metadc1021816/. 
• Fletcher, Roger (1987). Practical methods of optimization (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-91547-8. https://archive.org/details/practicalmethods0000flet 
• Kowalik, J.; Osborne, M. R. (1968). Methods for Unconstrained Optimization Problems. New York: Elsevier. pp. 45–48. ISBN 0-444-00041-0. https://archive.org/details/methodsforuncons0000kowa/page/45 
• Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (1999). Numerical Optimization. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98793-2 
• Walsh, G. R. (1975). Methods of Optimization. London: John Wiley & Sons. pp. 110–120. ISBN 0-471-91922-5