スピン群

数学において、 スピン群（スピンぐん、英: spin group） Spin(n) は特殊直交群 SO(n) の二重被覆であり、従って、以下に記すリー群の短完全系列が存在する。

1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1.

n > 2 に対し、Spin(n) は単連結であり、よって SO(n) の普遍被覆である。従って、リー群 Spin(n) の次元は n(n − 1)/2 と特殊直交群と同じであり、リー環も特殊直交群のものと同じである。

Spin(n) は、クリフォード多元環 Cℓ(n) の乗法可逆元からなる部分群として構成できる。 n 次元実ユークリッド空間 Rⁿ の標準的正値 2 次形式に対するクリフォード多元環および偶クリフォード多元環を夫々 Cℓ(n)、Cℓ₀(n) と書く。 Cℓ(n) の乗法可逆元全体 Cℓ(n)^× は乗法群になり、Cℓ₀(n) の乗法可逆元全体 Cℓ₀(n)^× はその部分群になる。 X∈Cℓ(n)^× に対して、

ψ_X : Cℓ(n)∋ Y → XYX⁻¹∈Cℓ(n)

は Cℓ(n) の内部自己同型である。一般クリフォード群

Γ(n)={X∈Cℓ(n)^×|ψ_X(Rⁿ)⊆Rⁿ}

は、Cℓ(n)^× の部分群で、特殊クリフォード群

Γ₀(n)=Γ(n)∩Cℓ₀(n)^×

も部分群である。 Cℓ(n) の主逆自己同型を J と書くとき、X∈Γ(n) のノルム

ν(X)=XJ(X)

は Cℓ(n) の中心の可逆元である。準同型としてのノルム写像 ν の Γ₀(n) への制限の核 Ker(ν|_Γ₀(n)) は、Spin(n) になる。

偶然的な同型

低次元においては、古典リー群の「偶然的な同型」と呼ばれる同型が存在する。例えば、低次元スピン群とある種の古典リー群の間に同型が存在する。特に、

Spin(1) = O(1)

Spin(2) = U(1)

Spin(3) = Sp(1) = SU(2)

Spin(4) = Sp(1) × Sp(1)

Spin(5) = Sp(2)

Spin(6) = SU(4)

n = 7,8 においては、この様な同型の名残が見られるが、これより高次の n においては、この様な同型は完全になくなってしまう。

偶然的な同型

関連項目