利用者:Beneficii/証明

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ , $n\geq 0$ , $n\geq k\geq 0$ ,

$n,u\geq 0$ , $0^{0}=0!=1$

$F(u)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-k)^{u}(-1)^{k}$

$n=u$ であれば $F(u)=u!$

$n>u$ であれば $F(u)=0$

$[x]^{u}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-k)^{u}x^{n-u-k}(-1)^{k}$

$[1]^{u}=F(u)$

$u=0$ であれば $[x]^{0}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}(-1)^{k}=(x-1)^{n}$

$[1]^{0}=0^{n}$

$n=0$ であれば $[1]^{0}=0^{0}=1=n!$

$n>0$ であれば $[1]^{0}=0$

それゆえに、 $u=0$ ならば真である。

$u=1$ ]または $u\leq n$ であれば $[x]^{1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-k)x^{n-1-k}(-1)^{k}$

$=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}(n-k)x^{n-1-k}(-1)^{k}$ $=n(x-1)^{n-1}$

（微分の証明をご覧ください。）

$[1]^{1}=n(0)^{n-1}$

$n=1$ であれば $[1]^{1}=0^{0}n=n!$

$n>1$ であれば $[1]^{1}=0$

それゆえに、 $u=1$ ならば真である。

$u=2$ または $n\geq 2$ であれば $[x]^{2}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-k)^{2}x^{n-2-k}(-1)^{k}$ $=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\sum _{j=0}^{2}s(2,j)(n-k)^{j}x^{n-2-k}(-1)^{k}-\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\sum _{j=0}^{1}s(2,j)(n-k)^{j}x^{n-2-k}(-1)^{k}$

（スターリング数第１種の証明をご覧ください。）

$k>n-2$ ならば前の和は0である。

$=\sum _{k=0}^{n-2}{\binom {n}{k}}(n-k)(n-k-1)x^{n-2-k}(-1)^{k}-\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-k)x^{n-2-k}(-1)^{k}$ $=n(n-1)(x-1)^{n-2}-\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-k)x^{n-2-k}(-1)^{k}$

（微分の証明をご覧ください。）

$[1]^{2}=0^{n-2}n(n-1)-\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-k)(-1)^{k}$ $=0^{n-2}n(n-1)-[1]^{1}$

$n\geq 2$ であるから $[1]^{1}=0$

$=0^{n-2}n(n-1)$

$n=2$ であれば $[1]^{2}=0^{0}n(n-1)=n(n-1)=n!$

$n>2$ であれば $[1]^{2}=0$

それゆえに、 $u=2$ ならば真である。

$v<n$ , $v+1\leq n$ , $u=v+1$ , $b\in [0,v]$ ならば $[1]^{b}$ が真であれば、 $[x]^{v+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-k)^{v+1}x^{n-(v+1)-k}(-1)^{k}$ $=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\sum _{j=0}^{v+1}s(v+1,j)(n-k)^{j}x^{n-(v+1)-k}(-1)^{k}-\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\sum _{j=0}^{v}s(v+1,j)(n-k)^{j}x^{n-(v+1)-k}(-1)^{k}$

（スターリング数第１種の証明をご覧ください。）

$=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-k)(n-k-1)(n-k-2)...(n-k-(v+4))(n-k-(v+3))(n-k-(v+2))x^{n-(v+1)-k}(-1)^{k}$ $-\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\sum _{j=0}^{v}s(v+1,j)(n-k)^{j}x^{n-(v+1)-k}(-1)^{k}$

$k>n-(v+1)$ ならば前の和は0である。

$=\sum _{k=0}^{n-(v+1)}{\binom {n}{k}}{\frac {(n-k)!}{(n-k-(v+1))!}}x^{n-(v+1)-k}(-1)^{k}-\sum _{j=0}^{v}s(v+1,j)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-k)^{j}x^{n-(v+1)-k}(-1)^{k}$ $={\frac {n!}{(n-(v+1))!}}(x-1)^{n-(v+1)}-\sum _{j=0}^{v}s(v+1,j)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-k)^{j}x^{n-(v+1)-k}(-1)^{k}$

（微分の証明をご覧ください。）

$[1]^{v+1}={\frac {n!}{(n-(v+1))!}}(0)^{n-(v+1)}-\sum _{j=0}^{v}s(v+1,j)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-k)^{j}(-1)^{k}$ $=0^{n-(v+1)}{\frac {n!}{(n-(v+1))!}}-\sum _{j=0}^{v}s(v+1,j)[1]^{j}$

$v<n$ で $j\in [0,v]$ であるから、 $[1]^{j}=0$

$=0^{n-(v+1)}{\frac {n!}{(n-(v+1))!}}$

$n=v+1$ であれば $[1]^{v+1}=0^{0}{\frac {n!}{(n-n)!}}=n!$

$n>v+1$ であれば $[1]^{v+1}=0$

証明終わり

微分の証明

$n\geq 0$ , $v\in [0,n]$

${\frac {d^{v}}{(dx)^{v}}}(x-1)^{n}$ $={\frac {d^{v}}{(dx)^{v}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}(-1)^{k}$ $=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\left(\prod _{j=0}^{v-1}(n-k-j)\right)x^{n-v-k}(-1)^{k}$ $=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}[(n-k)(n-k-1)(n-k-2)...(n-k-v+3)(n-k-v+2)(n-k-v+1)]x^{n-v-k}(-1)^{k}$ $=\sum _{k=0}^{n-v}\left({\frac {(n-v)!}{(n-v)!}}\right)\left({\frac {n!}{k!(n-k)!}}\right)\left({\frac {(n-k)!}{(n-v-k)!}}\right)x^{n-v-k}(-1)^{k}$ $=\sum _{k=0}^{n-v}{\frac {n!}{(n-v)!}}\left({\frac {(n-v)!}{k!(n-v-k)!}}\right)x^{n-v-k}(-1)^{k}$ $={\frac {n!}{(n-v)!}}\sum _{k=0}^{n-v}{\binom {n-v}{k}}x^{n-v-k}(-1)^{k}$ $={\frac {n!}{(n-v)!}}(x-1)^{n-v}$