コンテンツにスキップ

英文维基 | 中文维基 | 日文维基 | 草榴社区

利用者:Henon/作業用ページ8

これはこのページの過去の版です。Henon (会話 | 投稿記録) による 2011年8月10日 (水) 20:11個人設定で未設定ならUTC)時点の版 (Skew Schur functions)であり、現在の版とは大きく異なる場合があります。

  • シューア多項式

数学において、シューア多項式とは、分割でパメトライズされたあるn変数対称多項式のことをいう。イサイ・シューアにちなんで名付けられたこの対称多項式は、基本対称多項式完全対称多項式の一般化である。 表現論において、シューア多項式は、一般線型群既約表現の指標である。シューア多項式は、すべての対称多項式からなる空間の基底となっている。2つのシューア多項式の積は、再びシューア多項式の非負整数係数一次結合で展開される。この係数は、リトルウッド・リチャードソン則によって組合せ論的に記述される。さらに一般に2つの分割に対して定義される歪シューア多項式もシューア多項式と似た性質を持つことが知られている。

定義

シューア多項式は自然数の分割に対応して定義される。

であって各 が非負整数となっているものを考える。このとき、次の交代式(すなわち変数を入れ替えるとその符号倍されるような多項式):

を定まる。交代式であることから、ファンデルモンド行列式

で割り切れる。シューア多項式とは次の商

で定義される。分母分子ともに交代式であることからこの式は対称式である。これが多項式となることは、すべての交代式がファンデルモンド行列式で割り切れることからわかる。

性質

n 変数次数 d のシューア多項式は、n 変数で次数 d の斉次対称多項式のなすベクトル空間の基底となっている。

第一ギャンベリ公式は、シューア多項式を完全対称式の多項式として明示的に記述する公式である。

第二ギャンベリ公式は、シューア多項式を基本対称式の多項式として明示的に記述する公式である。

ここで、 は分割 の転置で得られる分割である。

この2つの公式は行列式公式としてしられており、特に最初の公式はヤコビ・トルゥーディ公式として知られている。

分割 に対し、シューア多項式は次のような単項式の和として記述される。

ここで和は、分割 上の半標準ヤング盤 の全体を動く。指数に現れる は、 のウェイト、すなわち、 に現れる の個数が である。 この式が定義と同値であることは、第一ギャンベリ公式と Lindström–Gessel–Viennot の補題から従う。

シューア多項式 Sλ は、単項対称式の一次結合 mμ として表され、その係数は非負整数で、コストカ数 Kλμ と呼ばれている。

Example

The following extended example should help clarify these ideas. Consider the case n = 3, d = 4. Using Ferrers diagrams or some other method, we find that there are just four partitions of 4 into at most three parts. We have

and so forth. Summarizing:

Every homogeneous degree-four symmetric polynomial in three variables can be expressed as a unique linear combination of these four Schur polynomials, and this combination can again be found using a Gröbner basis for an appropriate elimination order. For example,

is obviously a symmetric polynomial which is homogeneous of degree four, and we have

Relation to representation theory

The Schur polynomials occur in the representation theory of the symmetric groups, general linear groups, and unitary groups, and in fact this is how they arose. The Weyl character formula implies that the Schur polynomials are the characters of finite dimensional irreducible representations of the general linear groups, and helps to generalize Schur's work to other compact and semisimple Lie groups.

Several expressions arise for this relation, one of the most important being the expansion of the Schur functions in terms of the symmetric power functions . If we write for the character of the representation of the symmetric group indexed by the partition evaluated at elements of cycle type indexed by the partition , then

where means that the partition has parts of length .

歪シューア多項式

2つの分割 λ と μ に対応する歪シューア多項式 sλ/μ は次の性質で定義される。

See also

References

  • Macdonald, I. G. (1995). Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Mathematical Monographs (2nd ed.). The Clarendon Press Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853489-1. MR1354144. http://www.oup.com/uk/catalogue/?ci=9780198504504 
  • Sagan, Bruce E. (2001), “Schur functions in algebraic combinatorics”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/s/s120040.htm 
  • Sturmfels, Bernd (1993). Algorithms in Invariant Theory. New York: Springer. ISBN 0-387-82445-6 
');