ℓ進層

代数幾何学において、ℓ 進層とは、ℓ 進数体 Q_ℓ のようなねじれのない係数に対してエタール・コホモロジーの理論を適切に拡張するために用いられる概念である。アレクサンドル・グロタンディークにより SGA 5 において導入され^[1]、その後ピエール・ドリーニュ ^[2] 、ウーヴェ・ヤンセン（英語版）^[3] 、トルステン・エケダール^[4] などにより理論が整備された^[5]。

バルガフ・バット（英語版）とペーター・ショルツェはプロエタール位相を用いて ℓ 進層の理論に新たなアプローチを与えた^[6]。

動機

エタール・コホモロジーは、代数多様体に対する「位相的な」コホモロジー論、すなわち任意の標数で機能するようなヴェイユ・コホモロジー論を構築する目的で発展した。そのような理論に不可欠な特徴は、標数 0 の体を係数にもつことである。しかし、ねじれのないエタール定数層のコホモロジーは興味深い情報を含まない。例えば、X が体 k 上の滑らかな代数多様体のとき、任意の正の整数 i に対して Hⁱ(X_ét, Q) = 0 である^[7]。一方、定数層 Z/m は、体 k において m が可逆である限り、「正しい」コホモロジーを与える。そのため、体 k で可逆であるような素数 ℓ に対し、X の ℓ 進コホモロジーを

H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell }):=\varprojlim _{n}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n})

,

H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Q} _{\ell }):=(\varprojlim _{n}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }

と定義する。

しかし、この定義は完全に満足のできるものではない。位相空間に対する古典的な理論のように、Q_ℓ ベクトル空間の局所系（英語版）を係数にもつコホモロジーを考えたい。また、そのような局所系のなす圏とエタール基本群の Q_ℓ 上の連続表現のなす圏の間に圏同値が存在するべきである。

上の定義の別の問題点は、k が分離閉体のときにしかうまく振る舞わないことである。その場合には、逆極限に現れるすべての群は有限生成で、逆極限をとる操作は完全である。しかし、例えば k が代数体の場合、コホモロジー群 Hⁱ(X_ét, Z/ℓⁿ) が有限とも、逆極限をとる操作が完全とも限らない。これにより関手性に問題が生じる。例えば、 $H^{i}(X_{\text{et}},\mathbb {Z} _{\ell })$ を $H^{i}((X_{k^{\text{sep}}})_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell })$ のガロア・コホモロジーに関連付けるホッホシルト・セールスペクトル系列^{[注釈 1]}は一般には存在しない^[8]。

以上の考察から、エタール層の逆系のなす圏を考えるというアイデアに至る。これによって、Q_ℓ 局所系のなす圏とエタール基本群の有限次元 Q_ℓ ベクトル空間上の連続表現の圏の間の所望の圏同値が生じる。また、前の段落で述べた問題も、逆系の大域切断の逆極限をとる関手の導来関手を考える、いわゆる連続エタール・コホモロジーによって解決する。

定義

X をネータースキームとする。 X 上の ℓ 進層、または Z_ℓ 層とは、X 上のエタール層のなす逆系 $\{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\geq 0}$ で、各 n ≧ 0 に対して射 ${\mathcal {F}}_{n+1}\to {\mathcal {F}}_{n}$ が同型 ${\mathcal {F}}_{n+1}/\ell ^{n+1}{\mathcal {F}}_{n+1}\cong {\mathcal {F}}_{n}$ を誘導するものである^[9]。

ℓ 進層 $\{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\geq 0}$ は、

各 ${\mathcal {F}}_{n}$ が構成可能（英語版）なとき構成可能であるという^[10]。
各 ${\mathcal {F}}_{n}$ が構成可能な局所定数層（英語版）のとき滑らか (lisse) であるという^[10]。

ℓ 進層の定義に構成可能であることを含める文献もある（例えば SGA 4 1/2^[11]）。

X 上の Q_ℓ 層のなす圏を次のように定義する。

対象は X 上の Z_ℓ 層とする。
2 つの Z_ℓ 層 ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ に対して、射の集合 $\mathrm {Hom} _{\mathbb {Q} _{\ell }}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})$ を $\mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} _{\ell }}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }$ と定める。

このように定義された圏の対象を X 上の Q_ℓ 層と呼び、Z_ℓ 層 ${\mathcal {F}}$ で表される Q_ℓ 層を ${\mathcal {F}}\otimes \mathbb {Q} _{\ell }$ と表記する^[12]。

滑らかな ℓ 進層とエタール基本群の連続表現の対応

連結なネータースキーム X とその幾何学的点 x に対して、SGA 1 では X の x におけるエタール基本群 $π ét 1 (X, x)$ が、X の有限ガロア被覆を分類する群として定義されている。このとき、X 上の滑らかな ℓ 進層のなす圏は有限生成 Z_ℓ 加群上の $π ét 1 (X, x)$ の連続表現のなす圏と同値である^[13]。同様に、Q_ℓ 層の場合は有限次元 Q_ℓ ベクトル空間上の $π ét 1 (X, x)$ の連続表現と対応する^[13]。これは、代数的トポロジーにおける局所系（英語版）と基本群の連続表現の間の対応の類似である（このため、滑らかな ℓ 進層は局所系と呼ばれることがある）。

ℓ 進コホモロジー

古典的には、スキーム X 上の Z_ℓ 層 ${\mathcal {F}}=\{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\geq 0}$ に対して、X の ${\mathcal {F}}$ 係数 ℓ 進コホモロジーは

H^{i}(X,{\mathcal {F}}):=\varprojlim _{n}H^{i}(X,{\mathcal {F}}_{n})

と定義される^[14]。 Z_ℓ 層 ${\mathcal {F}}'=\{{\mathcal {F}}'_{n}\}_{n\geq 0}$ により ${\mathcal {F}}={\mathcal {F}}'\otimes \mathbb {Q} _{\ell }$ と表される Q_ℓ 層に対しては

H^{i}(X,{\mathcal {F}}):=H^{i}(X,{\mathcal {F}}')\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }

と定義する^[14]。

しかし、これは導来関手として定義されていないため、関手性に問題が生じる^[15]。この問題を解決するのがウーヴェ・ヤンセン（英語版）の連続エタール・コホモロジーである。 X 上のエタール層の逆系のなす圏はアーベル圏であり十分単射的対象をもつため^[16]、関手 $\{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\geq 0}\mapsto \varprojlim _{n}\Gamma (X,{\mathcal {F}}_{n})$ の i 次右導来関手を考えられる。これを逆系 ${\mathcal {F}}=\{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\geq 0}$ に適用して得られるアーベル群を $H_{\text{cont}}^{i}(X,{\mathcal {F}})$ と表し、X の ${\mathcal {F}}$ 係数連続エタール・コホモロジーという^{[注釈 2]}。

エタール層の逆系 ${\mathcal {F}}=\{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\geq 0}$ で各射 ${\mathcal {F}}_{n+1}\to {\mathcal {F}}_{n}$ が全射であるものに対して、X の ${\mathcal {F}}$ 係数連続エタール・コホモロジーはバルガフ・バット（英語版）とペーター・ショルツェによるプロエタール・コホモロジーで表すことができる^[17]。

構成可能 ℓ 進層のなす「導来圏」

構成可能 ${\overline {\mathbb {Q} _{\ell }}}$ 層のなす導来圏は、本質的には ℓ 進コホモロジーの場合と類似の式

D_{c}^{b}(X,{\overline {\mathbb {Q} _{\ell }}}):=(\varprojlim _{n}D_{c}^{b}(X,\mathbb {Z} /\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}{\overline {\mathbb {Q} _{\ell }}}

で表されるようなアイデアにより定義される。ドリーニュ^[2]が最初にこのアイデアに沿った定義を与えた^[18]。その後エケダール^[4]によってより一般的な構成が与えられた。

バット（英語版）とショルツェは、Q_ℓ の任意の（有限次とは限らない）代数拡大 E に対して、構成可能 E 層の導来圏 $D_{c}^{b}(X,E)$ をプロエタール位相を備えた X のプロエタール景 X_proét 上の E ベクトル空間の層のなすアーベル圏の導来圏 $D(X_{\text{proét}},E)$ の特別な対象のなす充満部分圏 $D_{\text{cons}}(X_{\text{proét}},E)$ として実現した^[19]。

脚注

注釈

^ 通常のエタール・コホモロジーの場合のホッホシルト・セールスペクトル系列については、例えば Fu 2011, pp. 500–501 を参照。
^ Jannsen 1988, p. 216 では ℓ 進層における導来関手の値のみに対し $H_{\text{cont}}^{i}$ という記号が用いられ、また「連続エタール・コホモロジー」の名前もその状況においてのみ与えられているが、ここでは Bhatt & Scholze 2015, Definition 5.6.1 の記法・用語法に従った。

出典

^ Illusie 1977.
^ ^a ^b Deligne, Pierre (1980). “La conjecture de Weil. II”. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 52: 137-252.
^ Jannsen 1988.
^ ^a ^b Ekedahl 1990.
^ “Section 61.1 (0966): Introduction”. The Stacks Project. 2024年8月20日閲覧。.
^ Bhatt & Scholze 2015.
^ “Etale cohomology with coefficients in $\mathbb {Q}$ ”. mathoverflow. 2024年8月20日閲覧。
^ Jannsen 1988, pp. 207–208.
^ Milne 1980, pp. 163–164.
^ ^a ^b Milne 1980, p. 164.
^ Deligne, Pierre (1977). Cohomologie Etale. Lecture Notes in Mathematics. 569. Berlin; New York: Springer-Verlag. pp. iv+312. doi:10.1007/BFb0091516. ISBN 978-3-540-08066-4. MR0463174
^ “Definition 64.18.6 (03UR)”. The Stacks Project. 2024年8月21日閲覧。
^ ^a ^b Fu 2011, Proposition 10.1.23.
^ ^a ^b “Definition 64.18.8 (03UT)”. The Stacks Project. 2024年8月21日閲覧。
^ Jannsen 1988, p. 207.
^ Jannsen 1988, p. 209.
^ Bhatt & Scholze 2015, § 5.6.
^ Bhatt & Scholze 2015, p. 100.
^ Bhatt & Scholze 2015, Proposition 6.8.14.

参考文献

Bhatt, Bhargav; Scholze, Peter (2015). “The pro-étale topology for schemes”. Astérisque 369: 99-201. doi:10.24033/ast.960. arXiv:1309.1198
Ekedahl, Torsten (1990). “On the adic formalism”. The Grothendieck Festschrift, Vol. II (Boston, MA: Birkhäuser Boston): 197-218.
Fu, Lei (2011), Etale Cohomology Theory, Nankai Tracts in Mathematics, 13, World Scientific Publishing, doi:10.1142/7773, ISBN 9789814307727
Exposé V, VI of Illusie, Luc, ed (1977). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1965–66 SGA 5. Lecture notes in mathematics. 589. Berlin; New York: Springer-Verlag. pp. xii+484. doi:10.1007/BFb0096802. ISBN 3-540-08248-4. MR0491704
Jannsen, Uwe (1988). “Continuous Étale Cohomology.”. Mathematische Annalen 280 (2): 207–246. ISSN 0025-5831. https://eudml.org/doc/164361.
James S., Milne (1980), Étale cohomology, Princeton, N.J: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3

外部リンク

[8] 通常のエタール・コホモロジーの場合のホッホシルト・セールスペクトル系列については、例えば Fu 2011, pp. 500–501 を参照。

[18] Jannsen 1988, p. 216 では ℓ 進層における導来関手の値のみに対し $H_{\text{cont}}^{i}$ という記号が用いられ、また「連続エタール・コホモロジー」の名前もその状況においてのみ与えられているが、ここでは Bhatt & Scholze 2015, Definition 5.6.1 の記法・用語法に従った。

[FOOTNOTEIllusie1977-1] Illusie 1977.

[Deligne-2] Deligne, Pierre (1980). “La conjecture de Weil. II”. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 52: 137-252.

[FOOTNOTEJannsen1988-3] Jannsen 1988.

[FOOTNOTEEkedahl1990-4] Ekedahl 1990.

[5] “Section 61.1 (0966): Introduction”. The Stacks Project. 2024年8月20日閲覧。.

[FOOTNOTEBhattScholze2015-6] Bhatt & Scholze 2015.

[7] “Etale cohomology with coefficients in $\mathbb {Q}$ ”. mathoverflow. 2024年8月20日閲覧。

[FOOTNOTEJannsen1988207–208-9] Jannsen 1988, pp. 207–208.

[FOOTNOTEMilne1980163–164-10] Milne 1980, pp. 163–164.

[FOOTNOTEMilne1980164-11] Milne 1980, p. 164.

[12] Deligne, Pierre (1977). Cohomologie Etale. Lecture Notes in Mathematics. 569. Berlin; New York: Springer-Verlag. pp. iv+312. doi:10.1007/BFb0091516. ISBN 978-3-540-08066-4. MR0463174

[13] “Definition 64.18.6 (03UR)”. The Stacks Project. 2024年8月21日閲覧。

[FOOTNOTEFu2011Proposition_10.1.23-14] Fu 2011, Proposition 10.1.23.

[classical-def-15] “Definition 64.18.8 (03UT)”. The Stacks Project. 2024年8月21日閲覧。

[FOOTNOTEJannsen1988207-16] Jannsen 1988, p. 207.

[FOOTNOTEJannsen1988209-17] Jannsen 1988, p. 209.

[FOOTNOTEBhattScholze2015§_5.6-19] Bhatt & Scholze 2015, § 5.6.

[FOOTNOTEBhattScholze2015100-20] Bhatt & Scholze 2015, p. 100.

[FOOTNOTEBhattScholze2015Proposition_6.8.14-21] Bhatt & Scholze 2015, Proposition 6.8.14.

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[注釈 1]

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[注釈 2]

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動機

定義

滑らかな ℓ 進層とエタール基本群の連続表現の対応

ℓ 進コホモロジー

構成可能 ℓ 進層のなす「導来圏」

関連項目

脚注

注釈

出典

参考文献

外部リンク