イマナント
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数学における行列のイマナント(英: Immanant)は Littlewood & Richardson (1934) が行列式 (determinant) およびパーマネント (permanent) の概念を一般化するものとして導入した。
λ ≔ (λ1, λ2, …) を n の分割、χλ を対称群 Sn の表現論的指標とするとき、n × n 行列 A ≔ (aij) の指標 χλ に付随する「イマナント」は、 で定義される。
例えば、3 × 3 行列の場合に、S3 の既約表現は以下の指標標の如く三つある:
S3 | e | (1 2) | (1 2 3) |
---|---|---|---|
χ1 | 1 | 1 | 1 |
χ2 | 1 | −1 | 1 |
χ3 | 2 | 0 | −1 |
既に述べた通り、χ1 はパーマネントを χ2 は行列式を与える。そして χ3 は と写される演算を定義する。
Littlewood & Richardson (1934) は対称群の表現論におけるシューア函数との関係も調べている。
参考文献
[編集]- Littlewood, D. E.; Richardson, A. R. (1934), “Group characters and algebras”, Philosophical Transactions of the Royal Society A 233 (721–730): 99–124, doi:10.1098/rsta.1934.0015
- Littlewood, D. E. (1950). The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups (2nd ed.). Oxford Univ. Press (reprinted by AMS, 2006). p. 81
外部リンク
[編集]- immanent - PlanetMath.
- 田端亮 (2014) (PDF), Immanant不等式とImmanantal Polynomials, 第19回代数若手研究会 報告書