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イマナント

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

数学における行列イマナント: Immanant)は Littlewood & Richardson (1934)行列式 (determinant) およびパーマネント (permanent) の概念を一般化するものとして導入した。

λ ≔ (λ1, λ2, …)n分割χλ を対称群 Sn表現論指標とするとき、n × n 行列 A ≔ (aij) の指標 χλ に付随する「イマナント」は、 で定義される。

  • 行列式はイマナントの特別の場合で、χλ として(置換の符号によって定義される)Sn交代指標をとったものである。
  • パーマネントは χλ として自明指標英語版(恒等的に 1 に等しい)をとった場合である。

例えば、3 × 3 行列の場合に、S3 の既約表現は以下の指標標の如く三つある:

S3 e (1 2) (1 2 3)
χ1 1 1 1
χ2 1 −1 1
χ3 2 0 −1

既に述べた通り、χ1 はパーマネントを χ2 は行列式を与える。そして χ3 と写される演算を定義する。

Littlewood & Richardson (1934)対称群の表現論英語版におけるシューア函数との関係も調べている。

参考文献

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外部リンク

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