ウォリス積分

数学において、ウォリス積分とは、ジョン・ウォリスによって導入された積分である。

定義と証明

定義

ウォリス積分 $I_{m}$（m は 0 以上の整数）は

$I_{m}:=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\sin ^{m}\theta \,d\theta =\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\cos ^{m}\theta \,d\theta$

で定義される。部分積分によって

$I_{m+1}=m(I_{m-1}-I_{m+1})$

すなわち漸化式

${\frac {I_{m+1}}{I_{m-1}}}={\frac {m}{m+1}}$

が得られる。これより m の偶奇に応じて $I_{m}$ の値が求まる。

• $I_{2n+1}={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdots {\frac {2}{3}}\cdot 1={\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}}={\frac {1}{2n+1}}\cdot {\frac {4^{n}}{{}_{2n}{\rm {C}}_{n}}}$
• $I_{2n}={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdots {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {{}_{2n}{\rm {C}}_{n}}{4^{n}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}$

ただし$n!!$は二重階乗である。

ウォリス積分におけるウォリスの公式

• $\lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\sin ^{m}\theta \,d\theta =\lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\cos ^{m}\theta \,d\theta ={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$

証明 — 先述の漸化式より

$(m+1)I_{m+1}I_{m}=mI_{m}I_{m-1}$

が成り立つ。故に数列 $\{mI_{m}I_{m-1}\}$ は定数列で

$mI_{m}I_{m-1}=I_{1}I_{0}={\frac {\pi }{2}}.$

$\therefore I_{m}I_{m-1}={\frac {\pi }{2m}}.$

ここで、$0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}$ で $\sin ^{m+1}\theta \leq \sin ^{m}\theta \leq \sin ^{m-1}\theta$ より

${\begin{aligned}&I_{m+1}\leq I_{m}\leq I_{m-1}\\&I_{m+1}I_{m}\leq {I_{m}}^{2}\leq I_{m}I_{m-1}\\&{\frac {m}{m+1}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\leq m{I_{m}}^{2}\leq {\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

はさみうちの原理より

$\lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\,I_{m}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}.$

m = 2n を代入すると先述の $I_{2n}$ の求値より

• $\lim _{n\to \infty }{\sqrt {n}}\cdot {\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}$
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}$

スターリングの公式との関係

→「スターリングの近似」も参照

スターリングの公式：

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{\sqrt {n}}}\left({\frac {e}{n}}\right)^{n}={\sqrt {2\pi }}$

はウォリスの公式の拡張である。実際、スターリングの公式を仮定し $a_{n}:={\frac {n!}{\sqrt {n}}}\left({\frac {e}{n}}\right)^{n}$ とおくと、

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{2n}}{{a_{n}}^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {\sqrt {2\pi }}{({\sqrt {2\pi }})^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$

より

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}$

が得られる。

応用

ウォリスの公式を用いてガウス積分を求めることができる。

→導出については「ガウス積分 § ウォリスの公式を用いて」を参照

またカタラン数 $C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}$ にも二項係数が現れるため、ウォリスの公式より評価できる：

• $C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{n^{3/2}{\sqrt {\pi }}}}$

関連項目

• ジョン・ウォリス
• スターリングの近似
• ガウス積分
• 部分積分
• 漸化式