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エルミート標準形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

数学線型代数学におけるエルミート標準形(エルミートひょうじゅんけい、: Hermite normal form)とは、整数全体 Z についての行列行階段形と同様の概念である。

非特異正方行列

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成分が整数であるような非特異正方行列 M = (mij) がエルミート標準形(Hermite normal form, HNF)であるとは、次を満たすときを言う:

  • M上三角行列である[1]
  • 対角成分 mii が正である。
  • i > j に対し、mii > mji ≥ 0 が成立する。すなわち、ある列において、その対角成分よりも上に位置する成分は非負であり、その対角成分よりも小さい。

一般的な行列

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より一般的に、成分が整数であるような m×n 行列がエルミート標準形(HNF)であるとは、

  • 0 ≤ rn を満たすような r、および
  • 単調増加関数 f: [r + 1, n] → [1, m]

が存在し、M のはじめの r 列がゼロで、r + 1 ≤ jn に対し

  • mf(j)j > 0。
  • i > f(j) のときは、mij = 0。
  • k < f(j) のときは、mf(j)j > mkj ≥ 0。

が成立することを言う。

エルミート標準形の一意性

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成分が整数であるような m×n 行列 A が任意に与えられたとき、

ただし U ∈ GLn(Z)(すなわち、Uユニモジュラ行列である)

を満たすような、整数成分のエルミート標準形の m×n 行列 H が一意に存在する。H の非ゼロの列により構成される行列のことを、A のエルミート標準形と呼ぶ。

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以下の行列 A のエルミート標準形が、H である。

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行列 A のエルミート標準形が、行列 H である。

ここで r=2; f(3)=1, f(4)=2, f(5)=3, f(6)=4 が得られる(f(j) は、列 j に含まれる最小の非ゼロ成分の行を与える)

関連項目

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注釈

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  1. ^ 何人かの研究者は下三角行列を用いることを好む。すなわち、定義の残りにおいて適切な調整がなされる必要があるのである。

参考文献

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  • Section 2.4.2 of Cohen, Henri (1993), A Course in Computational Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 138, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-55640-4, MR1228206