オイラーのコマ

力学において、オイラーのコマ(オイラーのこま、英: Euler Top)とは、剛体の回転運動(コマの運動)の一種。重力などの外力が全く作用しない自由な運動に相当する。オイラー方程式が可積分となる例の一つとして、知られる。

概要

無重力状態で放られた剛体の回転運動や、重心で支えられた剛体の自由回転運動など、外力が働かない剛体の運動をオイラーのコマと呼ぶ。外力が作用しない場合、剛体の運動を記述するオイラー方程式は、

I_{1}{\frac {d\omega _{1}}{dt}}=(I_{2}-I_{3})\omega _{2}\omega _{3}

I_{2}{\frac {d\omega _{2}}{dt}}=(I_{3}-I_{1})\omega _{3}\omega _{1}

I_{3}{\frac {d\omega _{3}}{dt}}=(I_{1}-I_{2})\omega _{1}\omega _{2}

で与えられる。但し、座標原点は剛体の固定点もしくは、剛体の重心位置とし、各座標は慣性主軸方向に一致させるものとする。ここで、定数I₁、I₂、I₃ は主慣性モーメントである。

オイラーのコマでは、運動エネルギーE と全角運動量の大きさL²が系の保存量となる。

{\begin{aligned}E&={\frac {1}{2}}(I_{1}\omega _{1}^{\,2}+I_{2}\omega _{2}^{\,2}+I_{3}\omega _{3}^{\,2})\\\mathbf {L} ^{2}&=I_{1}^{\,2}\omega _{1}^{\,2}+I_{2}^{\,2}\omega _{2}^{\,2}+I_{3}^{\,2}\omega _{3}^{\,2}\end{aligned}}

運動エネルギーE と全角運動量の大きさL²を指定することで定まる等エネルギー面と等角運動量面は、(ω₁, ω₂, ω₃)空間における2つの楕円面を成しており、運動の軌道はそれらの交わりによって定められる曲線となる。

オイラーのコマは可積分な系の一つであり、その解は楕円関数で記述できる^[1]。

慣性モーメントにI₁<I₂<I₃ の関係が成り立つとき、運動の解はヤコビの楕円関数を用いて、

\omega _{1}={\sqrt {\frac {2EI_{3}-\mathbf {L} ^{2}}{I_{1}(I_{3}-I_{1})}}}\operatorname {cn} (\lambda t,k)

\omega _{2}={\sqrt {\frac {2EI_{3}-\mathbf {L} ^{2}}{I_{2}(I_{3}-I_{2})}}}\operatorname {sn} (\lambda t,k)

\omega _{3}={\sqrt {\frac {\mathbf {L} ^{2}-2EI_{1}}{I_{3}(I_{3}-I_{1})}}}\operatorname {dn} (\lambda t,k)

k={\sqrt {\frac {(I_{2}-I_{1})(2EI_{3}-\mathbf {L} ^{2})}{(I_{3}-I_{2})(\mathbf {L} ^{2}-2EI_{1})}}}

と表される。ここで、λは

\lambda ={\sqrt {\frac {(\mathbf {L} ^{2}-2EI_{1})(I_{3}-I_{2})}{I_{1}I_{2}I_{3}}}}

で与えられる定数であり、時間tはt=0でω₂=0となるように取り直している。

これらは次の周期T を持つ周期運動である。

T={\frac {4K}{\lambda }}

但し、K=K(k)は第一種完全楕円積分である。

慣性モーメントにI₁=I₂<I₃ の関係が成り立つとき、運動の解は

\omega _{1}={\sqrt {\frac {2EI_{3}-\mathbf {L} ^{2}}{I_{1}(I_{3}-I_{1})}}}\cos {(\lambda t)}\,

\omega _{2}={\sqrt {\frac {2EI_{3}-\mathbf {L} ^{2}}{I_{1}(I_{3}-I_{1})}}}\sin {(\lambda t)}\,

\omega _{3}={\frac {I_{1}}{I_{3}-I_{1}}}\lambda =\operatorname {const.}

となる。

H. Goldstein，C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics;　瀬川富士、矢野忠、江沢康生（翻訳）『古典力学〈上〉 (物理学叢書)』吉岡書店 (2006) ISBN 978-4842703367
L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Mechanics (Volume 1 of A Course of Theoretical Physics ), Pergamon Press 1969;　広重徹、水戸巌　（翻訳）『力学 (増訂第3版) ランダウ=リフシッツ理論物理学教程』東京図書 (1986) ISBN 978-4489011603