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カルタンの定理 (リー群)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

数学において、リー群論の3つの結果が、エリ・カルタンにちなんで、カルタンの定理 (Cartan's theorem) と呼ばれている。

閉部分群定理

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カルタンの定理は閉部分群定理英語版 (closed subgroup theorem) を意味することがある。この定理は、リー群 G に対し、任意の部分群部分リー群であるというものである[1]

表現論において

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カルタンの定理は、半単純リー群表現論において、最高ウェイトベクトル英語版に関するある定理を意味することもある。

リー代数と単連結リー群の同値性

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単連結実リー群の圏と有限次元実リー代数の圏の同値性を、普通は、カルタンの定理、あるいは、カルタン・リーの定理と呼ぶ(20世紀後半の文献において)。これは、エリ・カルタンにより証明されたことであり、一方、ソフス・リー(S. Lie)は早い時期に無限小版を証明した(モーレー・カルタンの方程式の局所可解性(モーレー・カルタンの微分形式を参照))、あるいは、有限次元リー代数の圏と局所リー群の圏の同値性)。リーは、彼の結果を 3つの方向で 3つの変換定理を一覧とした。カルタンの定理の無限小版は、本質的には、彼の第三の逆定理であり、よってセール(Serre)は書籍の中でこのように呼んだ。しかし、「第三のリーの定理英語版」(third Lie theorem)と呼び方は、歴史的には誤っている。しかし、多くの一般化との関係で、最近の十数年では、よく使われている。

関連項目

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脚注

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  1. ^ See §26 of Cartan's article La théorie des groups finis et continus et l'Analysis Situs.

参考文献

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  • Cartan, Élie (1930), “La théorie des groupes finis et continus et l'Analysis Situs”, Mémorial Sc. Math. XLII: pp. 1–61 
  • Helgason, Sigurdur (2001), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Graduate Studies in Mathematics, 34, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2848-9, MR1834454