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数学の一分野である幾何学的トポロジー の3-次元トポロジー （英語版 ） キャッソン不変量 (Casson invariant)は、アンドリュー・キャッソン （英語版 ） ホモロジー3-球面 （英語版 ）
ケルビン・ウォーカー(Kevin Walker)は、1992年に、キャッソン・ウォーカー不変量 (Casson-Walker invariant)と呼ばれる有理ホモロジー3-球面 （英語版 ） 閉じた な向きつけられた3-次元多様体 （英語版 ）
キャッソン不変量は、向き付けられた整数ホモロジー 3-球面から Z への写像で次の性質を満たす全射写像 λ である。
λ(S 3 ) = 0.
Σ を整数ホモロジー 3-球面とすると、任意の結び目 K と任意の整数 n に対して、差
λ
(
Σ
+
1
n
+
1
⋅
K
)
−
λ
(
Σ
+
1
n
⋅
K
)
{\displaystyle \lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{n+1}}\cdot K\right)-\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{n}}\cdot K\right)}
は、n と独立である。ここに
Σ
+
1
m
⋅
K
{\displaystyle \Sigma +{\frac {1}{m}}\cdot K}
1
m
{\displaystyle {\frac {1}{m}}}
デーンの手術 （英語版 ） Σ の中の任意の境界の絡み目 K ∪ L に対して、次の表現は 0 となる。
λ
(
Σ
+
1
m
+
1
⋅
K
+
1
n
+
1
⋅
L
)
−
λ
(
Σ
+
1
m
⋅
K
+
1
n
+
1
⋅
L
)
−
λ
(
Σ
+
1
m
+
1
⋅
K
+
1
n
⋅
L
)
+
λ
(
Σ
+
1
m
⋅
K
+
1
n
⋅
L
)
{\displaystyle \lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m+1}}\cdot K+{\frac {1}{n+1}}\cdot L\right)-\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m}}\cdot K+{\frac {1}{n+1}}\cdot L\right)-\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m+1}}\cdot K+{\frac {1}{n}}\cdot L\right)+\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m}}\cdot K+{\frac {1}{n}}\cdot L\right)}
キャッソン不変量は（上記の性質に関して）すべての定数による積を除き、一意である。
λ
(
Σ
+
1
n
+
1
⋅
K
)
−
λ
(
Σ
+
1
n
⋅
K
)
=
±
1
{\displaystyle \lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{n+1}}\cdot K\right)-\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{n}}\cdot K\right)=\pm 1}
ポアンカレホモロジー球面 （英語版 ） M の向き付けを逆にすると、キャッソン不変量は符号を変える。
M のロホリン不変量 は、キャッソン不変量 mod 2 に等しい。
キャッソン不変量は、ホモロジー 3-球面の連結和に関して、加法的である。
キャッソン不変量は、フレアーホモロジー のオイラー特性類 の一種である。
任意の整数 n に対し、
λ
(
M
+
1
n
+
1
⋅
K
)
−
λ
(
M
+
1
n
⋅
K
)
=
ϕ
1
(
K
)
,
{\displaystyle \lambda \left(M+{\frac {1}{n+1}}\cdot K\right)-\lambda \left(M+{\frac {1}{n}}\cdot K\right)=\phi _{1}(K),}
ここに
ϕ
1
(
K
)
{\displaystyle \phi _{1}(K)}
アレクサンダー・コンウェイ多項式
∇
K
(
z
)
{\displaystyle \nabla _{K}(z)}
z
2
{\displaystyle z^{2}}
Arf不変量 （英語版 ） キャッソン不変量はLMO不変量 （英語版 ）
ザイフェルト多様体 （英語版 ）
Σ
(
p
,
q
,
r
)
{\displaystyle \Sigma (p,q,r)}
λ
(
Σ
(
p
,
q
,
r
)
)
=
−
1
8
[
1
−
1
3
p
q
r
(
1
−
p
2
q
2
r
2
+
p
2
q
2
+
q
2
r
2
+
p
2
r
2
)
−
d
(
p
,
q
r
)
−
d
(
q
,
p
r
)
−
d
(
r
,
p
q
)
]
{\displaystyle \lambda (\Sigma (p,q,r))=-{\frac {1}{8}}\left[1-{\frac {1}{3pqr}}\left(1-p^{2}q^{2}r^{2}+p^{2}q^{2}+q^{2}r^{2}+p^{2}r^{2}\right)-d(p,qr)-d(q,pr)-d(r,pq)\right]}
ここに
d
(
a
,
b
)
=
−
1
a
∑
k
=
1
a
−
1
cot
(
π
k
a
)
cot
(
π
b
k
a
)
{\displaystyle d(a,b)=-{\frac {1}{a}}\sum _{k=1}^{a-1}\cot \left({\frac {\pi k}{a}}\right)\cot \left({\frac {\pi bk}{a}}\right)}
である。 非公式には、キャッソン不変量は、ホモロジー 3-球面の基本群 の群 SU(2) への表現の共役類の数の半分である。このことは次のように詳細に記述することができる。
コンパクト な向き付けられた 3-多様体 M の表現空間は、
R
(
M
)
=
R
i
r
r
(
M
)
/
S
O
(
3
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}(M)=R^{\mathrm {irr} }(M)/SO(3)}
R
i
r
r
(
M
)
{\displaystyle R^{\mathrm {irr} }(M)}
π
1
(
M
)
{\displaystyle \pi _{1}(M)}
M
{\displaystyle M}
ヒーガード分解 （英語版 ）
Σ
=
M
1
∪
F
M
2
{\displaystyle \Sigma =M_{1}\cup _{F}M_{2}}
(
−
1
)
g
2
{\displaystyle {\frac {(-1)^{g}}{2}}}
R
(
M
1
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}(M_{1})}
R
(
M
2
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}(M_{2})}
ケルビン・ウォーカー(Kevin Walker)は、キャッソン不変量の有理ホモロジー3-球面 （英語版 ） Q への全射写像 λCW であり、次の性質を満たしている。
1. λ(S 3 ) = 0.
2. 向き付けられた有理ホモロジー球面 M の中の向き付けられた有理ホモロジー球面 M' のすべての 1-成分デーンの手術 （英語版 ）
λ
C
W
(
M
′
)
=
λ
C
W
(
M
)
+
⟨
m
,
μ
⟩
⟨
m
,
ν
⟩
⟨
μ
,
ν
⟩
Δ
W
′
′
(
M
−
K
)
(
1
)
+
τ
W
(
m
,
μ
;
ν
)
{\displaystyle \lambda _{CW}(M^{\prime })=\lambda _{CW}(M)+{\frac {\langle m,\mu \rangle }{\langle m,\nu \rangle \langle \mu ,\nu \rangle }}\Delta _{W}^{\prime \prime }(M-K)(1)+\tau _{W}(m,\mu ;\nu )}
である。ここに、
m は結び目 K の向きつけられたメリディアンであり μ は手術の特性曲線である。
ν は自然な写像 H1 (∂N(K), Z ) → H1 (M − K, Z ) の核の生成子である。
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
Δ はアレクサンダー多項式で、t の作用が M − K の無限巡回被覆 （英語版 ）
H
1
(
M
−
K
)
/
Torsion
{\displaystyle H_{1}(M-K)/{\text{Torsion}}}
τ
W
(
m
,
μ
;
ν
)
=
−
s
g
n
⟨
y
,
m
⟩
s
(
⟨
x
,
m
⟩
,
⟨
y
,
m
⟩
)
+
s
g
n
⟨
y
,
μ
⟩
s
(
⟨
x
,
μ
⟩
,
⟨
y
,
μ
⟩
)
+
(
δ
2
−
1
)
⟨
m
,
μ
⟩
12
⟨
m
,
ν
⟩
⟨
μ
,
ν
⟩
{\displaystyle \tau _{W}(m,\mu ;\nu )=-\mathrm {sgn} \langle y,m\rangle s(\langle x,m\rangle ,\langle y,m\rangle )+\mathrm {sgn} \langle y,\mu \rangle s(\langle x,\mu \rangle ,\langle y,\mu \rangle )+{\frac {(\delta ^{2}-1)\langle m,\mu \rangle }{12\langle m,\nu \rangle \langle \mu ,\nu \rangle }}}
ここに x, y は、すべての整数 δ に対し
⟨
x
,
y
⟩
=
1
{\displaystyle \langle x,y\rangle =1}
デデキント和 （英語版 ） 1 (∂N(K), Z ) の生成子である。 整数ホモロジー球面に対し、ウォーカーの正規化は、キャッソンの正規化
λ
C
W
(
M
)
=
2
λ
(
M
)
{\displaystyle \lambda _{CW}(M)=2\lambda (M)}
[ 編集 ] クリスティーヌ・レスコップ(Christine Lescop)は、キャッソン・ウォーカー不変量の向き付けられたコンパクト 3-次元多様体への拡張 λCWL を定義した。この定義は、次の性質をもつことで一意に特徴付けられる。
λ
C
W
L
(
M
)
=
1
2
|
H
1
(
M
)
|
λ
C
W
(
M
)
{\displaystyle \lambda _{CWL}(M)={\tfrac {1}{2}}\left\vert H_{1}(M)\right\vert \lambda _{CW}(M)}
λ
C
W
L
(
M
)
=
Δ
M
′
′
(
1
)
2
−
t
o
r
s
i
o
n
(
H
1
(
M
,
Z
)
)
12
{\displaystyle \lambda _{CWL}(M)={\frac {\Delta _{M}^{\prime \prime }(1)}{2}}-{\frac {\mathrm {torsion} (H_{1}(M,\mathbb {Z} ))}{12}}}
ここに Δ は対称で、1 で正の値の値を取るように正規化されたアレクサンダー多項式 である。
λ
C
W
L
(
M
)
=
|
t
o
r
s
i
o
n
(
H
1
(
M
)
)
|
L
i
n
k
M
(
γ
,
γ
′
)
{\displaystyle \lambda _{CWL}(M)=\left\vert \mathrm {torsion} (H_{1}(M))\right\vert \mathrm {Link} _{M}(\gamma ,\gamma ^{\prime })}
ここに γ は、
H
2
(
M
;
Z
)
{\displaystyle H_{2}(M;\mathbb {Z} )}
S
1
,
S
2
{\displaystyle S_{1},S_{2}}
γ
′
{\displaystyle \gamma ^{\prime }}
S
1
,
S
2
{\displaystyle S_{1},S_{2}}
M の第一ベッチ数が 3 であれば、
H
1
(
M
;
Z
)
{\displaystyle H_{1}(M;\mathbb {Z} )}
λ
C
W
L
(
M
)
=
|
t
o
r
s
i
o
n
(
H
1
(
M
;
Z
)
)
|
(
(
a
∪
b
∪
c
)
(
[
M
]
)
)
2
{\displaystyle \lambda _{CWL}(M)=\left\vert \mathrm {torsion} (H_{1}(M;\mathbb {Z} ))\right\vert \left((a\cup b\cup c)([M])\right)^{2}}
である。 M の第一ベッチ数が 3 よりも大きいと、
λ
C
W
L
(
M
)
=
0
{\displaystyle \lambda _{CWL}(M)=0}
キャッソン・ウォーカー・レスコップ不変量は次の性質を持つ。
M が向きつけられて、第一ベッチ数が奇数であれば、キャッソン・ウォーカー・レスコップ不変量は変わらなく、そうでない場合は符号を変える。
多様体の連結和 に対し、
λ
C
W
L
(
M
1
#
M
2
)
=
|
H
1
(
M
2
)
|
λ
C
W
L
(
M
1
)
+
|
H
1
(
M
1
)
|
λ
C
W
L
(
M
2
)
.
{\displaystyle \lambda _{CWL}(M_{1}\#M_{2})=\left\vert H_{1}(M_{2})\right\vert \lambda _{CWL}(M_{1})+\left\vert H_{1}(M_{1})\right\vert \lambda _{CWL}(M_{2})\ .}
1990年、クリフォード・タウベス （英語版 ）
A
/
G
{\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}
オイラー特性類 として、ゲージ理論的な解釈を持つ。ここに、
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
チャーン・サイモンズ不変量 を
A
/
G
{\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}
S
1
{\displaystyle S^{1}}
モース函数 として導き、SU(3) キャッソン不変量が摂動と独立であることにとって重要であることを指摘した。(Taubes (1990) )
ボーデン(Boden)とヘラルド(Herald) (1998) は SU(3) キャッソン不変量を定義した。
S. Akbulut and J. McCarthy, Casson's invariant for oriented homology 3-spheres— an exposition. Mathematical Notes, 36. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1990. ISBN 0-691-08563-3
M. Atiyah, New invariants of 3- and 4-dimensional manifolds. The mathematical heritage of Hermann Weyl (Durham, NC, 1987), 285-299, Proc. Sympos. Pure Math., 48, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988.
H. Boden and C. Herald, The SU(3) Casson invariant for integral homology 3-spheres. J. Differential Geom. 50 (1998), 147–206.
C. Lescop, Global Surgery Formula for the Casson-Walker Invariant. 1995, ISBN 0-691-02132-5
N. Saveliev, Lectures on the topology of 3-manifolds: An introduction to the Casson Invariant. de Gruyter, Berlin, 1999. ISBN 3-11-016271-7 ISBN 3-11-016272-5
Taubes, Clifford Henry (1990), “Casson’s invariant and gauge theory.”, J. Differential Geom. 31 : 547–599 K. Walker, An extension of Casson's invariant. Annals of Mathematics Studies, 126. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1992. ISBN 0-691-08766-0 ISBN 0-691-02532-0 
![{\displaystyle \lambda (\Sigma (p,q,r))=-{\frac {1}{8}}\left[1-{\frac {1}{3pqr}}\left(1-p^{2}q^{2}r^{2}+p^{2}q^{2}+q^{2}r^{2}+p^{2}r^{2}\right)-d(p,qr)-d(q,pr)-d(r,pq)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca3f9a9c85a3580b2fc472da9eb3b40a6bb164b)
![{\displaystyle \lambda _{CWL}(M)=\left\vert \mathrm {torsion} (H_{1}(M;\mathbb {Z} ))\right\vert \left((a\cup b\cup c)([M])\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5e9b3d56259f048ccc363a2dcd11ece21ea3ae8)
