キャップ積

代数トポロジーにおいて、キャップ積（英: cap product）は次数 p のチェインと次数 q ≤ p のコチェインから次数 p − q の新しいチェインを作る手法である。キャップ積は1936年にEduard Čechにより、1938年にHassler Whitneyにより独立に導入された。

定義

X を位相空間とし R を係数環とする。キャップ積は特異ホモロジー及びコホモロジー上の双線型写像

$\frown \;:H_{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R)$

であって以下のように定義される。特異チェイン $\sigma :\Delta \ ^{p}\rightarrow \ X$ と特異コチェイン $\psi \in C^{q}(X;R)$ に対し

$\sigma \frown \psi =\psi (\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]})\sigma |_{[v_{q},\ldots ,v_{p}]}$

とする。ここで、表記 $\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]}$ は単体写像 $\sigma$ の底のベクトルによって張られる面への制限を表す。単体を参照。

Equations

キャップ積のバウンダリは次で与えられる：

$\partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi ).$

写像 f が与えられると誘導された写像は次を満たす：

$f_{*}(\sigma )\frown \psi =f_{*}(\sigma \frown f^{*}(\psi )).$

キャップ積とカップ積は次で関係づけられる：

$\psi (\sigma \frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(\sigma )$

ただし

$\sigma :\Delta ^{p+q}\rightarrow X$ , $\psi \in C^{q}(X;R)$ and $\varphi \in C^{p}(X;R).$

最後の式の面白い結果として、$H_{\ast }(X;R)$ は右 $H^{\ast }(X;R)$ 加群になる。

関連項目

• カップ積
• ポワンカレ双対
• 特異ホモロジー
• ホモロジー論

参考文献

• Hatcher, A., Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0. Detailed discussion of homology theories for simplicial complexes and manifolds, singular homology, etc.
• slant product in nLab