クーン・ポーカー

クーン・ポーカー (Kuhn poker) は二人零和不完全情報ゲームとしてハロルド・クーンが考案した、非常に単純化されたポーカーである。非常に単純であるため、ゲーム理論を用いて完全な分析が可能である。クーン・ポーカーはキング・クイーン・ジャックなどのたった3枚（3種類）のカードのみを用いるポーカーである。各プレイヤに1枚ずつカードが配られ、一般的なポーカーと同様にベットを行う。両プレイヤがベットするか、両プレイヤーがパスした場合、より強いカードを持つプレイヤーが勝利し、片方のみのプレイヤーがベットした場合には、ベットしたプレイヤーが勝利する。

ゲームの説明

一般的なポーカー用語を用いてクーン・ポーカーの進行を説明する。

• 各プレイヤーはアンティ（参加費）として1を払う。
• 各プレイヤーは1枚のカードを配られる。3枚目の、配られていないカードは見えないよう横に置く。
• プレイヤー1はチェックするか、1だけベットするかを選ぶ。
  • プレイヤー1がチェックした場合、プレイヤー2がチェックするか、1だけベットするかを選ぶ。
    • プレイヤー2がチェックした場合、全員がチェックであるためショー・ダウンとなり、強いカードを持つプレイヤーが掛け金2を得る（他のプレイヤーから掛け金1得る）。
    • プレイヤー2がベットした場合、プレイヤー1はフォールドするか、コールするかを選ぶ。
      • プレイヤー1がフォールドした場合、勝者であるプレイヤー2は掛け金3を得る（プレイヤー1から掛け金1を得る）。
      • プレイヤー1がコールした場合、ショー・ダウンとなり、より強いカードを持つプレイヤーが掛け金4を得る（他のプレイヤーから掛け金2を得る）。
  • プレイヤー1がベットした場合、プレイヤー2がフォールドするかコールするかを選ぶ。
    • プレイヤー2がフォールドした場合、勝者であるプレイヤー1は掛け金3を得る（プレイヤー2から掛け金1を得る）。
    • プレイヤー2がコールした場合、ショー・ダウンとなり、より強いカードを持つプレイヤーが掛け金4を得る（他のプレイヤーから掛け金2を得る）。

最適戦略

クーン・ポーカーには混合戦略ナッシュ均衡が存在する。両プレイヤーがその戦略を実践すると、プレイヤー1（先手）が1回あたり−1/18だけ敗北する。クーン・ポーカーは零和ゲームであるため、プレイヤー2（後手）は1/18だけ勝利する。純粋戦略ナッシュ均衡は存在しない。

考案者であるハロルド・クーンはプレイヤー1にとって1つのパラメータを持つ連続な無限の均衡戦略が存在することを示した。いろいろな表現があるが、その1つの定式化では

プレイヤー1は自由に選んだ $\alpha \in [0,1/3]$ に対して、

• ジャック（最弱カード）を持っている場合には $\alpha$ の確率でベット
• キングを持っている場合には $3\alpha$の確率でベット
• クイーンを持っている場合には常にチェック
  • プレイヤー2がそのチェックに対してベットした場合には $\alpha +1/3$ の確率でコール

という戦略である。

プレイヤー2は唯一の均衡戦略を持つ。

• キングを持っている場合には常にベットかコール
• クイーンを持っている場合には、可能ならチェックを、不可能であれば$1/3$の確率でコール
• ジャックを持っている場合には常にコールせず、$1/3$の確率でベット

という戦略である。

混合戦略ナッシュ均衡の確率を含むクーン・ポーカーの完全木。点線は支配戦略の部分木を示す。

参考文献

• Kuhn, H. W. (1950). “Simplified Two-Person Poker”. In Kuhn, H. W.; Tucker, A. W.. Contributions to the Theory of Games. 1. Princeton University Press. pp. 97–103 
• James Peck. “Perfect Bayesian Equilibrium”. Ohio State University. 2 September 2016閲覧。

外部リンク

• Effective Short-Term Opponent Exploitation in Simplified Poker