グレイシャー・キンケリンの定数

数学において、グレイシャー・キンケリンの定数(Glaisher–Kinkelin constant)、またはグレイシャーの定数は、K関数やバーンズのG関数に関連する数学定数であり、通常Aとかかれる。この定数は特にガンマ関数や、リーマンゼータ関数などに関係する多くの和や積分に出現する。なお、この定数の名前の由来は数学者であるジェームズ・ウィットブレッドリー・グレーシャーとヘルマン・キンケリンである。

グレイシャー・キンケリンの定数の近似値は次の通りである。

A\approx 1.2824271291\dots

定義

グレイシャー・キンケリンの定数 $A$ は、

A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{-n^{2}/4}}}

の極限である。ここで、 $K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}k^{k}$ はK関数である。この式をよく見ると、これはスターリングの近似との類似性が見つかる。

{\sqrt {2\pi }}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{e^{-n}n^{n+{\frac {1}{2}}}}}

πは階乗 $\prod _{k=1}^{n}k$ 、Aは階乗の類似物であるK関数 $K(n)=\prod _{k=1}^{n}k^{k}$ により表されている。

バーンズのG関数、 $G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!={\frac {\left[\Gamma (n)\right]^{n-1}}{K(n)}}$ (ここで $\Gamma (n)$ はガンマ関数)を用いた、以下のような式もある。

A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {(2\pi )^{n/2}n^{n^{2}/2-1/12}e^{-3n^{2}/4+1/12}}{G(n+1)}}

.

グレーシャー・キンケリン定数はリーマンゼータ関数の微分の特定の値の評価に現れる。

\zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{12}}-\ln A

\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}=-\zeta ^{\prime }(2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\left[12\ln A-\gamma -\ln(2\pi )\right]

ここで、 $\gamma$ はオイラーの定数である。後の式は、グレーシャーにより見つけられた以下の無限積を与える。

\prod _{k=1}^{\infty }k^{\frac {1}{k^{2}}}=\left({\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}}\right)^{\frac {\pi ^{2}}{6}}.

以下は、この定数を含むいくつかの積分である。

\int _{0}^{1/2}\ln \Gamma (x)dx={\frac {3}{2}}\ln A+{\frac {5}{24}}\ln 2+{\frac {1}{4}}\ln \pi

\int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}dx={\frac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{2}}\ln A

この定数の級数表現は、ヘルムート・ハッセにより与えられた、リーマンゼータ関数のための級数から生じる。

\ln A={\frac {1}{8}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}\left(k+1\right)^{2}\ln(k+1)

Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2005). "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent". arXiv:math.NT/0506319。
Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). “Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent”. Ramanujan Journal 16 (3): 247–270. doi:10.1007/s11139-007-9102-0. (Provides a variety of relationships.)
Weisstein, Eric W. "Glaisher–Kinkelin Constant". mathworld.wolfram.com (英語).
Weisstein, Eric W. "Riemann Zeta Function". mathworld.wolfram.com (英語).