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数学において、K関数とは、ハイパー階乗(hyperfactorial)の複素数への一般化である。
形式的には、K関数は
![{\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(t!)\,dt\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9705e35a5b5d6a6603abfdad0d08530ced118f)
のように定義される。これは、閉じた式としても表せ、
![{\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82fbdf9734f7e2a7e05c26bd0bf87f4423791115)
となる。ここで、ζ'(z)はリーマンゼータ関数の一階導関数、ζ(a,z)はフルヴィッツのゼータ関数で、
![{\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {d\zeta (s,z)}{ds}}\right]_{s=a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd98fa9b1b9f13b03256ca6abb6f132a840d3a5e)
である。また、ポリガンマ関数を用いた別の式もある。[1]
![{\displaystyle K(z)=\exp \left(\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e4c4b695a83142dd3147b8826f8d5bf339e21d)
である。また、Balanced polygamma functionを使って、[2]
![{\displaystyle K(z)=Ae^{\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e57c91409cea65287a1f480f58342211f2b29c)
とも書ける。ここで A はグレーシャーの定数である。
K関数はガンマ関数のときと同様に、スターリングの公式の類似公式を持つ。
![{\displaystyle K(z+1)=Ae^{-{\frac {z^{2}}{4}}}z^{{\frac {z(z+1)}{2}}+{\frac {1}{12}}}\left(1+{\frac {1}{720z^{2}}}-{\frac {1433}{7257600z^{4}}}+{\frac {1550887}{15676416000z^{6}}}-\cdots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e807a4450b35a77b4b79134830c93bd3f8414844)
K関数はガンマ関数やバーンズのG関数と密接な関連を持つ。正の実数nに対し、
![{\displaystyle K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b27f762137579d2cb305483d6d937251004bb817)
のような関連がある。より明確に書けば、
![{\displaystyle K(n+1)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots n^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2064553da3c4c2b0a0b85d87d88b7ec60a397ef)
が自然数nに対し成り立つということである。より一般に、次のような関数等式を持つ。
![{\displaystyle K(x+1)=K(x)x^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3a3327af00e9fe75d2646abd10f53b9155c80e)
K関数は二重ガンマ関数の特殊な場合として捉えることができる。
![{\displaystyle K(x)=\Gamma _{1,1}(x)e^{-\zeta '(-1)}=\Gamma _{2}(x)\Gamma _{1}(x)^{x-1}e^{-\zeta '(-1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32dcd96fa115c164445fe2a4f6770539850e329d)
ガンマ関数の倍角公式の類似として、次の公式が知られている。
![{\displaystyle K(Nx)={\biggr (}{\frac {e^{1/12}}{A}}{\biggr )}^{N^{2}-1}\prod _{n=0}^{N-1}K{\Big (}{\frac {n}{N}}+x{\Big )}^{N}\cdot N^{{\frac {1}{12}}+{\frac {N^{2}x^{2}}{2}}-{\frac {Nx}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aff87f68077ddad07b8f913d2b9a4ce07785426)
ここで、Aはグレイシャー・キンケリンの定数である。
最初の数項の値は、
- 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A002109).
となる。また、
は、
[3]
のように表せる。ここで A はグレーシャーの定数である。
K関数とバーンズのG関数との積は次のようにかける。
![{\displaystyle K(z)\cdot G(z)=\exp \left\{(z-1)\cdot \log[\Gamma (z)]\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73cf097b2c20f67ea5a0ae17503c9e5b7e3a0fcb)
ここで、
Benoit Cloitreは2003年、下の式を発表した。
.
- Weisstein, Eric W. "K-Function". mathworld.wolfram.com (英語).