ケイリー＝バッハラッハの定理

ケイリー＝バッハラッハの定理の特別な場合。C₁,C₂が3本の直線に退化している。

ケイリー＝バッハラッハの定理（ケイリー＝バッハラッハのていり、英: Cayley–Bacharach theorem）は数学における射影平面P²上の三次曲線に関する定理。

射影平面上の2つの3次曲線C₁,C₂が、異なる9つの点で交わっているとする。この9点のうち8点を通る3次曲線は他の9番目の点を通る。

ケイリー＝バッハラッハの本質的な形式は次のように導かれる。

与えられた8点P₁, ..., P₈を通る代数的閉体上のすべての3次曲線Cは、P₁, ..., P₈に依存するある点P₉を通る。

ミシェル・シャールは最初に円錐曲線の場合の定理を証明した。その後アーサー・ケイリーとイザーク・バッハラッハによって一般化された。ケイリーの証明には、重大な見落としがあった。バッハラッハはアレクサンダー・フォン・ブリルとマックス・ネーターの研究に基づき、ケイリーの証明を改善し、1881年に正しい一般化を示した。

詳細

ベズーの定理より、三次曲線は二次曲線を含むため、P₁, ..., P₈のうち7点が円錐曲線上にあるならば、9つ目の点をその円錐曲線上に選ぶことができる。そうでない場合は次のようになる。

P₁, ..., P₈のどの7点も同一円錐曲線上になければ、（二重点では重複を持つ）P₁, ..., P₈（のアフィン凸錐上）で0を取る三次斉次多項式のベクトル空間の次元は2である。

この場合、P₁, ..., P₈を通るすべての3次曲線は、同様にP₁, ..., P₈を通る異なる2つの三次曲線の9番目の交点を通る。ベズーの定理によれば2つの3次曲線には代数的閉包上に必ず9つの交点が存在する。

円錐曲線が1,2直線に退化したならば、退化した円錐曲線上の7点のうち、少なくとも4点は共線である。よって次の結果を得る。

8点P₁, ..., P₈のうち、どの7点も非退化円錐曲線上になく、どの4点も共線でなければ、P₁, ..., P₈（のアフィン凸錐上）で0を取る三次斉次多項式のベクトル空間の次元は2である。

一方で、P₁, P₂, P₃, P₄が共線で、8点P₁, ..., P₈のうちどの7点も非退化円錐曲線上にない場合を考えると、8点のうちどの5点も共線でなく、また、P₅, P₆, P₇, P₈のうちどの3点も共線でない。ベズーの定理によれば、3次曲線は直線を含むから、P₁, ..., P₈（のアフィン凸錐上）で0を取る三次斉次多項式のベクトル空間は、P₅, P₆, P₇, P₈（のアフィン凸錐上）で0を取る2次元の二次斎次多項式ベクトル空間と同型である。

2次元の結果の条件とは異なるものの、どちらも、一般の位置にある場合よりも弱い結果である。上記の結果は3点が共線であること、6点が同一円錐曲線上にあることを許す場合である。 ケイリー＝バッハラッハの定理の成立条件は、ただ9点を通る3次曲線の族であることが条件である。

ベズーの定理によれば、代数的閉体上の既約でない異なる2つの3次曲線は重複を含め、常に9点で交わる。したがって、ケイリー＝バッハラッハの定理は、どの7点も同一円錐曲線にない8つの交点を与えたとき、曲線の族内の任意の2つの交点の最後の点は不動であることを主張する。

応用

ケイリー＝バッハラッハの定理の特殊な場合にパスカルの定理がある。パスカルの定理は円錐曲線上に6点P₁, ..., P₆を取ったとき、P₁P₂とP₄P₅、P₂P₃とP₅P₆、P₃P₄とP₆P₁の交点は共線であるという定理である。3次曲線の1つを3直線に退化させ、6つの交点を円錐曲線上に配置すれば、（もう一方の3次曲線をその円錐曲線とある1本の直線として）ケイリー＝バッハラッハの定理より残り3つの交点が共線になる。

パップスの六角形定理は、上述の円錐曲線をさらに2直線に退化させることで示される。

ケイリー＝バッハラッハの定理の上記の3番目の場合は楕円曲線の点の加法性により証明できる。1つめの3次曲線を3直線BC, O(A+B), A(B+C)とする。8点A, B, C, A+B, -A-B, B+C, -B-C, Oは、2つの3次曲線の共通の点である。9つ目の点は-A-(B+C)=-(A+B)-Cとなって一致する。

次元の勘定

ケイリー＝バッハラッハの定理と、それが3次曲線で起きる理由は次元の勘定から説明できる。9つの点は一意的な三次曲線を決定する。したがって、9つの点が2つ以上の3次曲線上にある場合、つまり2つの3次曲線の（3 × 3 = 9つの）交点である場合、この点らは一般の位置にはないこと、1次元の過剰な決定 があることを意味する。そして、この9点を通る3次曲線は"eight implies nine"という特性を満たすように、さらなる条件を満たす。これを一般に過剰度（superabundance）という。過剰度については曲面のリーマン・ロッホの定理を見よ。

詳細

形式的には、まず、d次の2つの曲線が与えられたとき、方程式の線型結合でそれらがd次の束（1変数の線形システム）を成すことを考える。これは曲線の母数空間（あるいは単に射影空間）上の射影直線を決定する2点に対応する。

ケイリー＝バッハラッハの定理は高次においても起こる。これはd次の2曲線の交点の個数d²が 次数dの曲線を決定する点の個数より早く成長するためである。次数dの曲線を決定する点の個数は次式で与えられる。

${\frac {(d+1)(d+2)}{2}}-1={\frac {d^{2}+3d}{2}}.$

d = 3の場合がケイリー＝バッハラッハの定理に対応する。より高次の場合でもd²はこの数より大きいので、ケイリー＝バッハラッハの定理はより高次に一般化される。

具体的には、d次の曲線の決定に必要な点の個数は、d次の単項式の数から1を引いた数である。小さいdにおいては以下の様な計算になる。

• d = 1: 2と1: 2点が直線を決定し、2直線は一点で交わる。
• d = 2: 5と4: 5点が円錐を決定し、2つの円錐曲線は4点で交わる。
• d = 3: 9と9: 9点が三次曲線を決定し、2つの3次曲線は9点で交わる。
• d = 4: 14と16.

したがってケイリー＝バッハラッハの定理が起きる最初の数は3で、d > 3のとき、交点の数が曲線の決定に必要な数を上回る。

これは3次曲線が高次の代数曲線より猶更特別であることを意味する。より低い次数、1次の場合は、2直線は1点で交わるが、これは一般的な位置にある。2次曲線も4点で交わるが、二次曲線が既約で、交点が共線でないとするならば、これも一般的な位置である。5つの条件が2次方程式を決定するので、4点では、曲線の方程式が決まらないからである（4点を通る二次曲線の束を成す）。一方、3次方程式は9つの条件で決定されるため、ある9つの点を通る3次曲線が束を成すということは、その9点が特別な位置にあることということになる。 したがって解となる空間の次元は1つ高くなり、追加の条件"8 implies 9"を導く。

より具体的には、x, y, zを変数とする3次の斉次多項式P(x, y, z)のベクトル空間は10次元を持つので、異なる8点を通る3次曲線の系は2次以上のベクトル空間で媒介変数表示される （ある点で多項式が0になることは1つの線型条件を課す）。 これは、どの4点も共線でないかつ、どの7点も円錐曲線上にないならば、2次になることを導ける。ケイリー＝バッハラッハの定理はこの事実から演繹される。

関連項目

• 因子の一次系
• ゴレンシュタイン環
• クラメールのパラドックス

出典

参考文献

• Michel Chasles, Traité des sections coniques, Gauthier-Villars, Paris, 1885.
• Bacharach, Isaak (1886), “Ueber den Cayley'schen Schnittpunktsatz”, Mathematische Annalen (Berlin/Heidelberg: Springer) 26 (2): 275–299, doi:10.1007/BF01444338, ISSN 0025-5831, https://zenodo.org/record/1597376 
• Cayley, Arthur (1889), On the Intersection of Curves, Cambridge: Cambridge University Press 
• Edward D. Davis, Anthony V. Geramita, and Ferruccio Orecchia, Gorenstein algebras and Cayley–Bacharach theorem, Proceedings of the American Mathematical Society 93 (1985), 593–597.
• David Eisenbud, Mark Green, and Joe Harris, Cayley–Bacharach theorems and conjectures, Bulletin of the American Mathematical Society 33 (1996), no. 3, 295—324. MR1376653
• Katz, Gabriel. "Curves in cages: an algebro-geometric zoo". arXiv:math/0508076。
• Qingchun Ren, Jürgen Richter-Gebert and Bernd Sturmfels (2015). Cayley–Bacharach Formulas. The American Mathematical Monthly. https://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.122.9.845 

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Cayley-Bacharach Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).