コルモゴロフスケール

コルモゴロフスケール(英: Kolmogorov scale)は、大小様々なスケールが存在する乱流の中で、最も小さなスケールである。コルモゴロフスケールでは、粘性の影響が支配的になるため、乱流の運動エネルギーは熱エネルギーに変換される。

定義

コルモゴロフスケールにおける長さ、時間、速度はそれぞれコルモゴロフ長$\eta$、コルモゴロフ時間$\tau$_$\eta$、コルモゴロフ速度$\upsilon$_$\eta$と呼ばれる。これらは、単位質量当たりのエネルギー散逸率$\epsilon$と動粘性係数$\nu$を用いて以下のように定義される^[2,3]。

$\eta =\left({\frac {\nu ^{3}}{\epsilon }}\right)^{\frac {1}{4}}$

$\tau _{\eta }=\left({\frac {\nu }{\epsilon }}\right)^{\frac {1}{2}}$

$\upsilon _{\eta }=\left(\nu \epsilon \right)^{\frac {1}{4}}$

これらの定義は、1941年にコルモゴロフによって提唱された理論[1]から導かれる。コルモゴロフの理論では、乱流の最小スケールの物理量は$\epsilon$[m² s^-3]と$\nu$[m² s^-1]のみで表されると仮定している。たとえば、コルモゴロフ長$\eta$は、次元解析から次のように導出される。まず、長さの次元をL、時間の次元をTと表すことにする。このとき、エネルギー散逸率$\epsilon$の次元はL² T^-3、動粘性係数$\nu$の次元はL² T^-1、コルモゴロフ長$\eta$の次元はLである。次元がLになるようなとの組み合わせは一つしかなく、上記に示した定義式が得られる。

コルモゴロフ時間$\tau$_$\eta$、コルモゴロフ速度$\upsilon$_$\eta$の導出も同様である。

レイノルズ数との関係

コルモゴロフスケールの物理量を用いると、レイノルズ数Reは

$Re={\frac {\upsilon _{\eta }\eta }{\nu }}$

と表される。

ここで$\upsilon _{\eta }\eta =\nu$であるので

$Re={\frac {\upsilon _{\eta }\eta }{\nu }}={\frac {\nu }{\nu }}=1$

となることがわかる。レイノルズ数は流体の慣性力と粘性力の比を表しているため、上式は冒頭で述べたように、コルモゴロフスケールでは粘性の影響が十分に支配的であることを意味する。

渦管との関係

乱流中には強い旋回を伴う流れ構造が観察されており、このような乱流構造は渦管と呼ばれている。1968年にSaffman^[4]は、渦管の直径はコルモゴロフ長からテイラー長の範囲に収まることが多いことを予測しており、その後1993年にJime'nezら^[5]は、渦管の半径がコルモゴロフ長の4倍程度であることを直接数値計算によって示している。

参考文献

[1] Kolmogorov, A. N. (1941), "Local structure of turbulence in an incompressible fluid at very high Reynolds numbers," Dokl. Akad. Nauk SSSR. 31: 99–101.

[2] Tennekes, H. and Lumley, J. L. (1972), “A first course in turbulence,” MIT press.

[3] Davidson P. A. (2015), “Turbulence: an introduction for scientists and engineers,” second edition, 24, 264-267,464.

[4] Saffman, P. G. (1968), "The lift on a small sphere in a slow shear flow," J. Fluid Mech., 22, 385-400.

[5] Jime'nez, J., Wray, A. A., Saffman, P. G., and Rogallo, R. S. (1993), “The structure of intense vorticity in isotropic turbulence,” J. Fluid Mech., 255, 65–90.