ザリスキ環

可換環論において、ザリスキ環 (Zariski ring) は可換ネーター位相環 A であってその位相がジャコブソン根基、すべての極大イデアルの共通部分、に含まれるイデアル m によって定義されているものである。それらは Oscar Zariski (1946) によって今では幾分違うことを意味する「半局所環」(semi-local ring) の名前で導入され、Samuel (1953) によって「ザリスキ環」(Zariski ring) と名付けられた。ザリスキ環の例はネーター局所環と、ネーター環の ${\mathfrak {a}}$ -進完備化である。

A をネーター環とし ${\widehat {A}}$ をその ${\mathfrak {a}}$ -進完備化とする。このとき以下は同値である。

${\widehat {A}}$ は A 上忠実平坦である（一般には、平坦でしかない）。
すべての極大イデアルは ${\mathfrak {a}}$ -進位相で閉である。
A はザリスキ環である。

参考文献

M. Atiyah, I. Macdonald Introduction to commutative algebra Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969
Samuel, Pierre (1953), Algèbre locale, Mémor. Sci. Math., 123, Paris: Gauthier-Villars, MR 0054995
Zariski, Oscar (1946), “Generalized semi-local rings”, Summa Brasil. Math. 1 (8): 169–195, MR0022835
Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1975), Commutative algebra. Vol. II, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90171-8, MR0389876