シンプレクティック簡約化

シンプレクティック簡約化とは、マースデンとワインシュタインによって示された「シンプレティック多様体の自由度低減定理」のこと。 これは解析力学におけるネーターの定理の一般化であるともみられる。

簡約化 (Weinstein and Marsden)

$\,(M,\omega )\,$をシンプレクティック多様体とする。 また、$\,G\,$をリー群とし、Ｍに作用しているとする：

$\,\mathrm {L} _{g}:M\to M;x\to g\cdot x,\,\,\,\,g\in G.\,$

さらに、このＧによる作用はシンプレクティック形式$\,\omega \,$を保つ、 すなわち、$\,L_{g}^{*}\omega =\omega \,$であるとする。

$\,{\mathfrak {g}}\,$でＧのリー代数を表し、 $\,{\mathfrak {g}}^{*}\,$でその双対空間を表すことにする。 リー群Ｇのシンプレクティック多様体Ｍへの作用に関する運動量写像 $J:M\to {\mathfrak {g}}^{*}\,$とは

$dJ_{x}(X)(\xi )=\omega _{x}(\xi _{M}|_{x},X),\,\,\,\,\,X\in T_{x}M\,$

を満たすものである。 ここで、$\,\xi \in {\mathfrak {g}}\,$であり、 $\,\xi _{M}\,$は$\,\xi \,$に関するＭ上の基本ベクトル場である。 また、$\,dJ:TM\to T{\mathfrak {g}}^{*}\,$はＪの微分写像である。