ジェフィメンコ方程式

ジェフィメンコ方程式（じぇふぃめんこほうていしき、英: Jefimenko's equations）とは、電磁気学におけるマクスウェルの方程式の解のひとつであり、時間変動する電荷密度や電流密度に起因する電場と磁場の振る舞いを記述する等式である。

真空中に所望の電流密度と電荷密度のみが与えられていて、かつ、それ以外に起因する電磁場が存在しない場合（無限の過去において発生した電磁場が存在しない場合）における、マクスウェル方程式の解である。ジェフィメンコ方程式の名前は、オレグ・ジェフィメンコに因む。

電場と磁場

真空中に電荷密度 $\rho$ と電流密度 ${\boldsymbol {J}}$ が、時刻 $t$ と位置 ${\boldsymbol {r}}=(x,y,z)$ の関数として与えられた場合を考える。また、以下の仮定を課すことにする。

• 電荷密度 $\rho ({\boldsymbol {r}},t)$ 及び電流密度 ${\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {r}},t)$ が ${\boldsymbol {r}},t$ のみの関数である（自分自身の作り出す電場や磁場の影響を受けない）。
• 前記の電流密度と電荷密度以外に、電場、磁場を生み出すものが存在しない
• 電荷密度と電流密度は、無限の過去では0に収束する
• 電荷密度と電流密度は、無限遠では0に収束する
• 電荷密度と電流密度は、自由空間に配置されている（境界のない時空間を仮定している）
• 時空因果律が成り立つ

このとき、電場 ${\boldsymbol {E}}$ は、以下の式（時間依存がある場合のクーロンの法則）で与えられる。

${\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\int }_{\boldsymbol {V}}\left[\left({\frac {\rho ({\boldsymbol {s}},{t}_{-})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{3}}}+{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{2}c}}{\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {s}},{t}_{-})}{\partial t}}\right)({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})-{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|c^{2}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {s}},{t}_{-})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}.$

また、磁束密度 ${\boldsymbol {B}}$ は、以下の式（時間依存がある場合のビオ・サバールの法則）で与えられる。

${\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\boldsymbol {V}}\left[{\frac {{\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {s}},{t}_{-})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{3}}}+{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{2}c}}{\frac {\partial {\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {s}},{t}_{-})}{\partial t}}\right]\times ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}.$

上記の二式を総称し、ジェフィメンコ方程式と言う。

ここで、t₋ は、遅滞時間を表し、以下の式で与えられる。

$t_{-}\equiv t-{\frac {|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}{c}}.$

また、

• $\epsilon _{0}$は真空の誘電率
• $\mu _{0}$は真空の透磁率
• $c$ は光速度
• $\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}$ は微小体積要素

を表す。

同様の式が、$D$ や $H$ に対しても導くことができる.

導出

ジェフィメンコ方程式は、遅延ポテンシャル $(\phi ,{\boldsymbol {A}})$ から導くことができる。ここに、$\phi$ と ${\boldsymbol {A}}$ はポテンシャル形式のマクスウェル方程式から導出され、以下のように与えられる 。

${\begin{aligned}&\phi ({\boldsymbol {r}},t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho ({\boldsymbol {s}},t_{\mathrm {r} })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}},\\&{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {r}},t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\dfrac {{\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {s}},t_{\mathrm {r} })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}.\\\end{aligned}}$

ジェフィメンコ方程式は、上記の遅延ポテンシャル $(\phi ,{\boldsymbol {A}})$ に、電場、磁場の定義式

$-{\boldsymbol {E}}=\nabla \phi +{\dfrac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}\,,\quad {\boldsymbol {B}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}$

と、

$c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}$

を考慮することで、導出される。

遅延ポテンシャルからの導出

ジェフィメンコ方程式は、遅延ポテンシャル $(\phi ,{\boldsymbol {A}})$ から導出される。その過程を以下説明する。

電磁スカラーポテンシャル $\phi$ の勾配ベクトル場は、次式である：

$\nabla \phi ({\boldsymbol {r}},\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\boldsymbol {V}}\nabla \left({\frac {\rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})}{\mathfrak {R}}}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\boldsymbol {V}}\left[{\frac {\nabla \rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})}{\mathfrak {R}}}+\rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})\nabla \left({\frac {1}{\mathfrak {R}}}\right)\right]\,\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}.$

ここで、${\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\,\!$ は、以下の式で定まる実数である。

${\boldsymbol {\mathfrak {R}}}=|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|$

また、電荷密度 $\rho$ の全微分は、

${\begin{aligned}\mathrm {d} \rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})&=\nabla '\rho \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+{\frac {\partial \rho }{\partial {t}_{-}}}\mathrm {d} {t}_{-}\\&=\nabla '\rho \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+{\frac {\partial \rho }{\partial {t}_{-}}}\left({\frac {\partial {t}_{-}}{\partial t}}\mathrm {d} t+{\frac {\partial {t}_{-}}{\partial {\mathfrak {R}}}}\mathrm {d} {\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+{\frac {\partial \rho }{\partial {t}_{-}}}\left(\mathrm {d} t-{\frac {1}{c}}\mathrm {d} {\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+{\frac {\partial \rho }{\partial {t}_{-}}}\left[\mathrm {d} t-{\frac {1}{c}}(\nabla {\mathfrak {R}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}+\nabla '{\mathfrak {R}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}})\right]\\\end{aligned}}\,\!$

で与えられる。ここで、$\nabla '$ は、${\boldsymbol {s}}$ に関する勾配微分作用素を意味する。今、

${\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {s}},\,t)}{\partial t}}={\frac {\partial {t}_{-}}{\partial t}}\ {\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})}{\partial {t}_{-}}}={\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})}{\partial {t}_{-}}},\,\!$

に注意すると、電荷密度 $\rho$ の勾配ベクトル場は、

$\nabla \rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})}{\partial {t}_{-}}}\nabla {\mathfrak {R}}=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})}{\partial t}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}=-{\frac {{\dot {\rho }}({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})}{c}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\,\!$

となる。ここで、

${\dot {\rho }}({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})={\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {s}},\,t)}{\partial {t}_{-}}}\,\!$

を意味する。また、

$\nabla {\mathfrak {R}}\equiv {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}$

とする。

以上から、$\phi$ の勾配ベクトル場は、

$\nabla \phi ({\boldsymbol {r}},\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\boldsymbol {V}}\left[-{\frac {{\dot {\rho }}({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})}{c}}{\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-\rho ({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})\left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}\,\!$

となる。同様に、${\boldsymbol {A}}$ についても

${\frac {\partial {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {r}},\,t)}{\partial t}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\boldsymbol {V}}{\frac {{\dot {\boldsymbol {J}}}({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\,\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\int _{\boldsymbol {V}}{\frac {{\dot {\boldsymbol {J}}}({\boldsymbol {s}},\,{t}_{-})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\,\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}\,\!$

が成り立つ。