スメイルの問題

スメイルの問題（スメイルのもんだい、英: Smale's problems）は、スティーヴン・スメイルによって2000年に提唱された18の数学上の未解決問題である^[1]。スメイルは、ウラジーミル・アーノルドからの要請に答える形でこの問題の一覧を構成した。当時の国際数学連合の委員長の依頼により、アーノルドは何人かの数学者たちに21世紀に向けた問題の一覧を提言することを要請した。アーノルドの着想はヒルベルトの23の問題から来ている。

問題の一覧

#	問題	ステータス
1	リーマン予想（ヒルベルトの第8問題も参照）
2	ポアンカレ予想	グリゴリー・ペレルマンにより証明済み
3	P = NPか?
4	1変数多項式の整数零点についてのτ予想
5	ディオファントス曲線の高さ境界
6	天体力学における相対平衡数の有限性
7	2-球面上の点の分布
8	経済学理論への力学の導入
9	線形計画問題
10	Pughの閉補題
11	1次元力学系は一般に双曲型か?
12	微分同相写像の中心化群	C. Bonatti, S. CrovisierおよびA. WilkinsonによってC¹トポロジーで解かれた^[2]。
13	ヒルベルトの第16問題
14	ローレンツアトラクター	ウォリック・タッカーにより区間演算を使って解かれた^[3]。
15	ナビエ-ストークス方程式
16	ヤコビアン予想（Dixmier予想と等価）
17	多項式を、平均多項式時間で解くこと	Carlos Beltrán AlvarezおよびLuis Miguel Pardoは、スメイルの第17問題に対する同じ形の（平均ラスベガス法）アルゴリズムを発見した^[4] ^[5]。スメイルの第17問題に対する決定論的アルゴリズムは未だ発見されていないが、部分的な解答はFelipe CuckerおよびPeter Bürgisserによって与えられている。彼らは、確率論的アルゴリズム à la Beltrán-Pardo の平滑化解析を行い、次に $N^{O(\log \log N)}$ の実行時間で動作する決定論的アルゴリズムを示した^[6]。
18	知能（人間の知能と人工知能の双方について）の限界

脚注

^ Steve Smale (2000). “Mathematical problems for the next century”. Mathematics: frontiers and perspectives (Providence, RI: American Mathematics Society): 271–294.
^ C. Bonatti, S. Crovisier, A. Wilkinson (2009). “The C¹-generic diffeomorphism has trivial centralizer”. Publications mathématiques de l'IHÉS 109: 185–244.
^ Warwick Tucker (2002). “A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem”. Foundations of Computational Mathematics 2 (1): 53–117. doi:10.1007/s002080010018.
^ Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo (2008). “On Smale's 17th Problem: A Probabilistic Positive answer”. Foundations of Computational Mathematics 8 (1): 1–43. doi:10.1007/s10208-005-0211-0.
^ Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo (2009). “Smale's 17th Problem: Average Polynomial Time to compute affine and projective solutions”. Journal of the American Mathematical Society 22: 363--385.
^ Felipe Cucker, Peter Bürgisser (2010). “Solving Polynomial Equations in Smoothed Polynomial Time and a Near Solution to Smale's 17th Problem”. Proc. 42nd ACM Symposium on Theory of Computing. arXiv:0909.2114.

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Smale's Problems". mathworld.wolfram.com (英語).

[1] Steve Smale (2000). “Mathematical problems for the next century”. Mathematics: frontiers and perspectives (Providence, RI: American Mathematics Society): 271–294.

[2] C. Bonatti, S. Crovisier, A. Wilkinson (2009). “The C¹-generic diffeomorphism has trivial centralizer”. Publications mathématiques de l'IHÉS 109: 185–244.

[3] Warwick Tucker (2002). “A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem”. Foundations of Computational Mathematics 2 (1): 53–117. doi:10.1007/s002080010018.

[4] Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo (2008). “On Smale's 17th Problem: A Probabilistic Positive answer”. Foundations of Computational Mathematics 8 (1): 1–43. doi:10.1007/s10208-005-0211-0.

[5] Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo (2009). “Smale's 17th Problem: Average Polynomial Time to compute affine and projective solutions”. Journal of the American Mathematical Society 22: 363--385.

[6] Felipe Cucker, Peter Bürgisser (2010). “Solving Polynomial Equations in Smoothed Polynomial Time and a Near Solution to Smale's 17th Problem”. Proc. 42nd ACM Symposium on Theory of Computing. arXiv:0909.2114.

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問題の一覧

関連項目

脚注

外部リンク