チャープ信号

チャープ信号（チャープしんごう）とは、時間とともに周波数が増加（「アップチャープ」）するか、時間とともに周波数が減少（「ダウンチャープ」）するような信号である。スイープ信号と同等の意味でつかわれることもある。一般的にソナー及びレーダーで使用されるが、スペクトラム拡散通信のように他の用途でも利用される。スペクトル拡散で使用する場合には、RAC (reflective array compressors)のような表面弾性波デバイスを使って生成や復調されることが多い。光学系では、光学伝送路材料の持つ分散特性によってパルス信号の分散が増加したり、減少したりすることで、超短レーザパルスがチャープ信号に変化してしまう場合もある。チャープと言う名前は英語での鳥の発するチャープ音（さえずり）がもとになっている。

チャープのタイプ

線形チャープ信号

線形チャープのスペクトログラム。このスペクトログラムプロットは、時間とともに周波数が線形に変化していることを示している。この場合、2.3秒ごとに0Ｈｚから７ＫＨｚへの変化が繰り返されている。プロットの輝度は、その点の周波数、時刻のエネルギーに比例している。

線形チャープでは、瞬時周波数 $f(t)$ は時間とともに線形に変化する:

$f(t)=f_{0}+kt$

$f_{0}$ は開始周波数 (at time $t=0$ )で、 $k$ は周波数の増加率あるいはチャープ率である。

$k={\frac {f_{1}-f_{0}}{T}}$

$f_{1}$ は最終的な周波数で $f_{0}$ が開始周波数である。 $T$ は $f_{0}$ から $f_{1}$ までをスイープするための時間。

時間領域において、任意の周期波形の位相とは角周波数の積分値である。つまり、位相φは、 $\phi (t+\Delta t)\simeq \phi (t)+2\pi f(t)\,\Delta t$ と表され、逆に位相の微分値が角周波数となる。 $\phi '(t)=2\pi \,f(t)$ .

線形チャープにおいては次のようになる。

${\begin{aligned}\phi (t)&=\phi _{0}+2\pi \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \\&=\phi _{0}+2\pi \int _{0}^{t}(f_{0}+k\tau )\,d\tau \\&=\phi _{0}+2\pi \left(f_{0}t+{\frac {k}{2}}t^{2}\right),\end{aligned}}$

$\phi _{0}$ は、初期位相(時刻 $t=0$ )である。上記の式の形から、二次関数的位相信号(クアドラティックフェーズ信号)とも呼ばれる.^[1]

時間領域での正弦波の線形チャープはラジアンで表した位相のサイン関数であり、次の式になる:

$x(t)=\sin \left[\phi _{0}+2\pi \left(f_{0}t+{\frac {k}{2}}t^{2}\right)\right]$

周波数領域においては、 $f(t)=f_{0}+kt$ で表される瞬時周波数と共に、周波数変調の結果生まれる余分な周波数成分（高調波）が伴う。この高調波は、ベッセル関数により定量的に記述することができるが、周波数対時間の関係を表すスペクトログラムを利用することで、線形チャープが基本波のチャープとその高調波成分を含むことを容易に確認することができる。

指数チャープ信号

幾何チャープ、指数チャープとも呼ばれる、では信号の周波数が時間に対して指数関数的に変化する。言い換えると、波形の2つの点、 $t_{1}$ と $t_{2}$ 、を選んだ時その2つの点の時間間隔を一定に保つなら、周波数比 $f(t_{2})/f(t_{1})$ が一定になる。

指数チャープにおいては、信号の周波数は、時間に対して指数的に変化する：

$f(t)=f_{0}k^{t}$

$f_{0}$ は開始周波数( $t=0$ )で、 $k$ は指数増加の割合である。一定のチャープ率を持つ線形チャープとは異なり、指数チャープはチャープ率が指数的に増加する。

指数チャープの位相は、時間領域で周波数の積分としてあらわされ：

${\begin{aligned}\phi (t)&=\phi _{0}+2\pi \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \\&=\phi _{0}+2\pi f_{0}\int _{0}^{t}k^{\tau }d\tau \\&=\phi _{0}+2\pi f_{0}\left({\frac {k^{t}-1}{\ln(k)}}\right)\end{aligned}}$

$\phi _{0}$ は初期位相である( $t=0$ )。

対応する時間領域での指数チャープ正弦波は、ラジアンで表した位相の正弦関数であり：

$x(t)=\sin \left[\phi _{0}+2\pi f_{0}\left({\frac {k^{t}-1}{\ln(k)}}\right)\right]$

線形チャープと同様、指数チャープの瞬時周波数は $f(t)=f_{0}k^{t}$ としてあらわされ、周波数ドメインで見ると、基本周波数に高調波が付加されたものになる。^[要説明]

チャープ信号の生成

チャープ信号はVCOに対し、直線的あるいは指数的に変化する制御信号を与えることで、アナログ回路によって作ることもできる。ダイレクトディジタルシンセサイズ（DDS）技術を用いれば、DSPとDAコンバータによってデジタル的に生成することもできる。YIG発振器によって作ることもできる。^[要説明]

インパルス信号との関連

チャープ信号は、インパルス信号と同様のスペクトル成分を持つが、各周波数の位相成分が異なる。^[2]^[3]^[4] つまりパワースペクトルは類似しているが、各スペクトルの位相は異なる。インパルス信号が信号伝送路の分散特性により予期せずチャープ信号となることがある。多くの実用的な応用において、チャープ信号はインパルス信号に比べ「ピーク対平均電力比」が小さいため、例えばチャープパルス増幅器や反響定位（エコーロケーションシステム）などでインパルス信号の代替として用いられる。

利用法と出現例

(a) 画像処理において、直接的な周期性はほとんど見られないが、遠近感を持つ画面の中での周期性はよく見られる。 (b) 窓の黒い部分と白いコンクリートの部分のような繰り返し構造で、空間周波数が増加する形でのチャープを構成する (c) つまり、画像処理において適したチャープは射影チャープとなる。

チャープレット変換

別のチャープ信号として、以下の形式の射影チャープがある：

g=f\left[{\frac {a\cdot x+b}{c\cdot x+1}}\right]

,

3つのパラメータを持ち、a (スケール), b (変換), and c (チャープネス)。理論的に、射影チャープは画像処理に適しており、射影チャープレット変換の基礎となる。^[5]

チャープ率

チャープ率とは、周波数の瞬時変化率である。波形が次のように定義されている場合：

$x(t)=\sin \left(\phi (t)\right)$

瞬時周波数は、次のように定義される：

$f(t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\phi (t)}{dt}}$

そして、チャープ率は、次のようになる：

$c(t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d^{2}\phi (t)}{dt^{2}}}$

脚注

^ Easton, R.L. (2010). Fourier Methods in Imaging. Wiley. p. 703. ISBN 9781119991861 2014年12月3日閲覧。
^ "Chirped pulses". setiathome.berkeley.edu.
^ Easton, R.L. (2010). Fourier Methods in Imaging. Wiley. p. 700. ISBN 9781119991861 2014年12月3日閲覧。
^ "Chirp Signals". dspguide.com.
^ Mann, Steve and Haykin, Simon; The Chirplet Transform: A Generalization of Gabor's Logon Transform; Vision Interface '91.

外部リンク

Online Chirp Tone Generator (wav file output)

[google-1] Easton, R.L. (2010). Fourier Methods in Imaging. Wiley. p. 703. ISBN 9781119991861 2014年12月3日閲覧。

[berkeley-2] "Chirped pulses". setiathome.berkeley.edu.

[google2-3] Easton, R.L. (2010). Fourier Methods in Imaging. Wiley. p. 700. ISBN 9781119991861 2014年12月3日閲覧。

[dspguide-4] "Chirp Signals". dspguide.com.

[5] Mann, Steve and Haykin, Simon; The Chirplet Transform: A Generalization of Gabor's Logon Transform; Vision Interface '91.

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